El cociente de dos funciones suaves es suave

Question

Sea $f:\mathbb R\to \mathbb R$ una función suave $C^\infty$. Supongamos que $f^{(k)}(0)=0$ para $k=0,\dots,n-1$. Demuestra que la función $g(x)=f(x)/x^n$ se extiende a una función suave $C^\infty$ en $\mathbb R$.

Comentario: por la regla de l'Hôpital, $g$ tiene un límite finito en $0$, específicamente $f^{(n)}(0)/n!$. Por lo tanto, se extiende a una función continua en $\mathbb R$. Sin embargo, no veo una manera elemental de mostrar que $g$ es suave $C^\infty$. (Se podría descomponer la transformada de Fourier de $g$ y así reducir el problema a funciones analíticas, como se hace en la demostración del teorema de preparación de Malgrange. Pero esto parece excesivo.)

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Answer 1

Aplicando la expansión de Taylor con la forma integral del resto a $f$ en $0$, y notando que $f^{(k)}(0)=0$ para $k=0,\dots,n-1$, tenemos:

$$f(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x(x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)dt,\quad \forall x\in\Bbb R.\tag{1}$$ Sustituyendo $t=sx$ en $(1)$, se sigue que $$f(x)=\frac{x^n}{(n-1)!}\int_0^1(1-s)^{n-1} f^{(n)}(sx)ds,\quad \forall x\in\Bbb R.\tag{2}$$

Como resultado, $g$ puede expresarse de la siguiente manera: $$g(x)=\int_0^1h(s,x)ds,\quad \forall x\in\Bbb R, \tag{3}$$ donde $$h(s,x)=\frac{1}{(n-1)!}(1-s)^{n-1} f^{(n)}(sx),\quad \forall (s,x)\in\Bbb R^2.$$

Evidentemente $h$ es una función $C^\infty$ en $\Bbb R^2$, por lo que podemos intercambiar el orden de la $k$-ésima diferenciación con respecto a $x$ e integración con respecto a $s$ en $(3)$ libremente para cada $k\ge 1$. Es decir, $g$ es una función $C^\infty$.

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Observación:

1. La ecuación $(1)$ puede ser fácilmente demostrada utilizando la integración por partes repetidamente.
2. Para la validez de la diferenciación bajo el signo de integral, se puede consultar esta página.
3. Un enfoque ligeramente diferente para el problema es usar inducción en $n$ para reducir el problema al caso $n=1$. Más precisamente, mediante inducción en $n$, basta con demostrar que $f_1(x)=\frac{f(x)}{x}$ puede extenderse a una función $C^\infty$ en $\Bbb R$ y $f_1^{(k)}(0)=0$, $k=0,\dots, n-2$. La prueba de suavidad de $f_1$ es similar, es decir, utilizando la expresión $f_1(x)=\int_0^1f'(sx)ds$. $f_1^{(k)}(0)=0~(0\le k\le n-2)$ se deduce de aplicar la regla de Leibniz a $f(x)=xf_1(x)$ e inducción en $k$.