El grupo Klein -$4$ es un grupo finito con exactamente tres subgrupos $H$ tal que$1<H<G$.
Por el contrario, si$G$ es un grupo finito con exactamente tres subgrupos$H$ tal que$1<H<G$, entonces lo que se puede decir sobre$G$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A mí me parece que $G$ debe ser el Klein cuatro, o un grupo cíclico de orden $p^4$ para algunos prime $p$.
- Un grupo cíclico de orden $\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}$ $\prod_i(a_i+1)$ subgrupos (incluyendo el trivial), por lo $k=1, a_1=4$ es la única posibilidad.
- No cíclico grupo abelian $G$ tiene un subgrupo $H$ isomorfo a $C_p\times C_p$. That group has $p+1$ proper subgroups, so we must have $p=2$ and $H=G$. Esto deja a la Klein cuatro como la única alternativa.
- No abelian $p$grupo $G$ $G/[G,G]$ como un no-cíclico de abelian cabeza, por lo que el argumento de la viñeta anterior obras.
- Un finito no-$p$-grupo con un no-normal Sylow subsgroup tiene al menos tres subgrupos de Sylow de ese orden, por lo que se descarta, porque al menos uno de sus más subgrupo de Sylow.
- Que deja el caso de un no-grupo abelian $G$ tal que todos sus subgrupos de Sylow son normales. A continuación,$G$, con lo que un producto directo de sus subgrupos de Sylow, y uno de los que tiene orden de $p^3$ al menos, porque de lo contrario $G$ es abelian. Hemos terminado.
