Solo el ideal adecuado es$\{0\}$$\implies f:A \rightarrow B$ es inyectivo

Question

Estoy pensando en la prueba de los siguientes:

Si $A,B$ son anillos y el verdadero ideal de la $A$ $\{0\}$ $f:A \rightarrow B$ es un anillo homomorphism, a continuación, $f$ es inyectiva.

Mi prueba:

Asumir $\ker f \neq 0$. $\ker f$ es un ideal de a $A$ por lo tanto $\ker f = A$ por lo tanto $f = 0$. Pero esto no es un anillo de homomorphism porque $f(1) \neq 1$. Por lo tanto, $\ker f$ debe $0$ $f$ es inyectiva.

Mi pregunta es esta: ¿el hecho de que estoy probando sólo para anillos con unidad? O es que hay una prueba de que no use $f(1) = 1$ a probar la misma cosa? Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Su prueba es correcta si$B$ no es el anillo cero, que tiene sólo un elemento 0 = 1. Observe también que un anillo que tiene$\{0\}$ como su único ideal adecuado debe ser un anillo de división: si$0 \neq a \in R$ es no invertible, entonces el ideal generado por$a$ es un ideal adecuado que es diferente de $\{0\}$. En el caso conmutativo, ahora ha demostrado que un homomorfismo de campo es siempre inyectivo.

Answer 2

Esto debería ser un comentario en lugar de una respuesta.

Si el único ideal apropiado del anillo$A$ es$0$, entonces esto implica para cada$0\neq a\in A$, el ideal (a) = A, %, Es decir,$\exists b\in A$ es invertible. Por lo tanto$ab=1$ es un campo.