Supongamos que $G$ es un grupo de Lie que admite algún fiel unitario fuertemente continua representación $U$ en un espacio de Hilbert $\cal H$ para que podamos interpretar los elementos $a$ del álgebra de Lie de $G$ en términos de generadores autoadjuntos de grupos unitarios de un parámetro,
$$U(\exp(s a)) = e^{is A}\:.$$
Los operadores $A$ son autoadjuntos y suelen definirse en un subdominio denso denominado Espacio de jardinería donde son esencialmente autoadjuntos (otro dominio interesante es el construido por Nelson donde la exponencial en el lado derecho puede desarrollarse como en su serie de Taylor estándar).
Si $G$ es el mayor grupo de simetrías continuas del sistema cuántico, uno de estos subgrupos de un parámetro debe representar la evolución temporal del sistema. Supongamos que es el grupo generado por el elemento $-h$ del álgebra de Lie de $G$ . Por lo tanto, tenemos
$$U(\exp(-t h)) = e^{-it H}$$
He cambiado el signo ya que la evolución temporal es la operación inversa de la traslación temporal. $H$ , por definición es el Observable hamiltoniano del sistema. Obviamente, son necesarios algunos requisitos físicos en $H$ en primer lugar su espectro debe estar acotado por debajo etc...no me atengo a ellos aquí y en adelante supongo que $H$ es un hamiltoniano físico de buen comportamiento.
Ahora tenemos dos posibilidades, si $a$ es un elemento genérico del álgebra de Lie. Uno es ( $\{\cdot, \cdot\}$ es el conmutador estándar del álgebra de Lie)
$$\{h, a\}=0\tag{1}\:.$$
Como consecuencia de Igualdad Hausdorff - Baker - Campbell en $G$ podemos exponenciar esta identidad a una identidad de grupo
$$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(sa)\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.$$ Aplicación de la representación $U$ : $$e^{itH} e^{sA} e^{-itH} = e^{sA}\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.$$ Aprovechando el teorema de Stone, tomando la derivada fuerte en $s$ obtenemos inmediatamente $$e^{itH} A e^{-itH} = A\quad \forall t\in \mathbb R\:.$$ (Esta identidad está completamente bien planteada incluso respecto a sutilezas con dominios). Esta identidad no dice nada más que el Evolución de Heisenberg de lo observable $A$ es constante y así $A$ es un constante de movimiento .
¿Qué ocurre si en lugar de $$\{h, a\}\neq 0\: \mbox{?}\tag{2}\:.$$ En este caso tenemos $$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(sa(t))\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.\tag{2}$$ donde hemos utilizado la acción natural de $g \in G$ sobre su álgebra de Lie, $$a \mapsto g^{-1}ag$$ y hemos definido el elemento del álgebra de Lie $a(t)$ $$a(t) := \exp(th) a\exp(-th) \quad \forall t\in \mathbb R\:.\tag{3}$$
Fijar una base $a_1, \ldots, a_n$ del álgebra de Lie, $$a = \sum_j c_j a_j \quad \mbox{for some reals $ c_j $}$$ y así $$a(t) = \sum_j c_j(t) a_j \quad \mbox{for some real valued functions $ c_j= c_j(t) $}$$ la identidad encontrada puede reformularse de la siguiente manera $$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(\sum_{j=1}^n sa(t))\quad \forall t,s \in A\:.$$ Explotando de nuevo el teorema de Stone concluimos que para un observable construido a partir de los generadores autoadjuntos $A_j$ (correspondiente a la base del $a_j$ ), $$A = \sum_j c_j A_j \quad \mbox{for some reals $ c_j $}$$ tiene $$e^{itH} A e^{-itH} = \sum^n_{j=1}c_j(t) A_j\quad \forall t\in \mathbb R\:.\tag{4}$$ (Esta identidad es válida en el espacio de Garding y puede extenderse a una identidad verdadera entre operadores autoadjuntos tomando los cierres de ambos lados). El contenido físico de la identidad encontrada es que,
aunque el representante $A$ del álgebra de Lie de observables no es una constante de movimiento, su evolución "à la Heisenberg" sin embargo, se describe en términos de una combinación lineal de los generadores y la dependencia temporal afecta únicamente a los coeficientes numéricos.
Se trata de un resultado muy poco trivial. En realidad, el resultado puede convertirse en una afirmación relativa a la existencia de constantes de movimiento paramétricamente en función del tiempo . Este es el procedimiento estándar que se suele adoptar en QFT, especialmente para el generador de impulsos.
Suponiendo que (4) es válido, se define el observable paramétricamente dependiente del tiempo en la imagen de Schroedinger (y una vez más la dependencia del tiempo sólo aparece en los coeficientes)
$$A_S(t) := \sum^n_{j=1}c_j(-t) A_j$$
Con esta definición
$$A_S(0) := A$$
y, a partir de (4), donde $U_t:= e^{-itH}$
$$A_H(t) := U^*_t A_S(t) U_t := A_S(0) \quad \forall t \in \mathbb R$$ que, formalmente, en algún dominio podría reescribirse $$ \partial_t A_H(t) + i[H, A_H(t)]=0\:.$$
Si $G$ es el grupo de Poincare, los generadores boost $K_j$ son tratados así. Se definen los operadores boost parametrizados en el tiempo $K_{Sj}(t)$ en la imagen de Schroedinger que siempre toman una forma como esta donde $j=1,2,3$ , $$K_{Sj}(t) = K_j - t Z_j$$ donde $Z_j$ es una cierta combinación lineal constante de los generadores del álgebra de Lie y $K$ es el generador boost estándar que se obtiene por las relaciones de conmutación. En QFT tiene una contribución debida al espín y una parte orbital. $K$ es importante porque está relacionada con la relativista operador de posición como puede entenderse si se realiza el límite no relativista (es decir, sustituyendo el grupo de Poincaré por el grupo de Galilei) $$K_{Sj}(t) = mX_j - t P_j\:,$$ donde $m$ es la masa del sistema y $X_j$ el posición de su centro de masa .
