¿La imagen de un conjunto conexo es conectada implica continuidad?

Question

Dejemos que $f\colon \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ sea una función con la propiedad de que la imagen de todo conjunto conexo es conexa. Es $f$ ¿es necesariamente continua?

Recientemente he aprendido la definición de conjunto conectado y todavía no me siento totalmente cómodo con ella. He pensado en la función $f(x)=\sin(1/x)$ para todos los reales no nulos $x$ y $f(0)=0$ (obviamente discontinua) para un contraejemplo pero no estoy seguro de que la imagen de todo conjunto conexo sea conexa...

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Recordemos el teorema que dice

Un subconjunto $E$ de la línea real $\mathbb{R}$ está conectada si y sólo si tiene la siguiente propiedad: Si $x\in E, y\in E$ y $x<z<y$ entonces $z\in E$ .

Por lo tanto, tu pregunta se reduce a si toda función satisface la siguiente propiedad: que $x,y$ sea tal que $f(x)<f(y)$ entonces existe un $c\in (x,y)$ tal que $f(x)<f(c)<f(y)$ ( Propiedad de Darboux ) es continua? Esto ya ha sido respondido Continuidad $\Rightarrow$ Propiedad de valor intermedio. ¿Por qué no es cierto lo contrario? (notado por Andred Caicedo )