Estoy preparando un artículo sobre el tema de la prime-representación de funciones, y uno de los árbitros que revisó mi papel me sugirió incluir referencias a la siguiente estado del arte en el artículo: "el Primer representación de funciones", K. Matomäki, Acta de Matemáticas. Hungar.,128,no.4 (2010) 307--314.
El resumen del artículo es:
Construimos prime-representación de funciones. En particular, se demuestra que existen números reales $\alpha \gt 1$ tal forma que:
$$\lfloor \alpha^{2^n} \rfloor$$
es perfecto para todas las $n\in \Bbb N$. De hecho, el conjunto formado de tal los números de $\alpha$ tiene la cardinalidad del continuo.
Así que, básicamente, es un refinamiento de los Molinos de'constant que es, para mi sorpresa, capaz de proporcionar un excelente representación de la función de trabajo en el cuadrática intervalos de $[n^2,(n+1)^2]$ (si no he entendido mal, este es lo suficientemente grande como $n$).
Mi duda con respecto a esto es: tan lejos como puedo recordar, Molinos'constant se basa en los poderes de los tres, $\lfloor A^{3^n} \rfloor$, y todavía no sabemos si de Legendre de la conjetura es verdadera o no, por lo que no hay prueba de una constante capaz de hacer que una prime-representación de la función de $\lfloor A^{2^n} \rfloor$. Pero de acuerdo a los resultados de Matomäki, el estudio del estado del arte de primer lagunas (y suponiendo que la hipótesis de Riemann es cierto , como se afirma en el papel) hace posible desarrollar tal poder-de-dos-basada en Molinos-como constante.
Así que mi pregunta es: ¿la existencia de tal poder de dos Molinos-como constante implica que Legendre de la conjetura es verdadera? donde está el truco, o donde está el punto que le he entendido mal? tal vez puede que la constante de existir, pero de Legendre de la conjetura todavía puede ser falso sin ser una contradicción? Gracias!
Actualización 2017/06/06.
Mi percepción es que Matomäki la prueba muestra que la existencia de la constante implica que al menos existe un conjunto infinito de cuadrática intervalos de $[N^2,(N+1)^2]$, en efecto asociado a los números primos generados por la constante, cada uno de ellos contiene al menos un primer (de hecho, la generada por la constante). Así que mi suposición es que es seguro decir que (1) Todavía Legendre de la conjetura es que no resultó ser cierto para todos los existentes cuadrática intervalos de $[N^2,(N+1)^2]$, (2) de Legendre de la conjetura es verdadera para los intervalos asociados a los números primos generados por Matomäki constante. Una confirmación o no de este razonamiento sería muy apreciada.
