Multiplicación y división de valores con desviación estándar geométrica

Question

¿Cuál es la desviación estándar geométrica de un valor, que es el resultado de dividir dos valores independientes, cada uno de los cuales tiene su propia desviación estándar geométrica?

Es una situación frecuente en la ciencia, que la señal de las máquinas está en relación lineal con el logaritmo de la cantidad analizada, por lo que es apropiado utilizar la desviación estándar geométrica para caracterizar el error de la cantidad medida. (Calculé la media geométrica y la desviación estándar geométrica de las mediciones por triplicado para cada valor). Ahora quiero dividir dos de esos valores de cantidad (uno por otro) para obtener una concentración relativa. ¿Cuál será la desviación estándar geométrica de la concentración relativa?

(Asumo, que los dos valores originales son independientes - no quiero tratar con covarianzas etc.)

Answer 1

Consideremos dos variables aleatorias distribuidas de forma independiente y log-normal $X \sim \mathcal{LN}(\mu_X, \sigma_X^2)$ y $Y \sim \mathcal{LN}(\mu_Y, \sigma_Y^2)$ . Su relación también tiene una distribución log-normal: $$ \dfrac{X}{Y} \sim \mathcal{LN}(\mu_X - \mu_Y, \sigma_X^2 + \sigma_Y^2). $$ La desviación estándar geométrica de este ratio es $$ \mathrm{GSD}\left( \dfrac{X}{Y} \right) = \exp \left( \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2} \right). \tag{1} $$ Si entiendo bien tu pregunta, quieres una expresión de esto en términos de las desviaciones geométricas estándar individuales de $X$ y $Y$ dado por $$ \mathrm{GSD}(X) = \mathrm{e}^{\sigma_X} \qquad\text{and}\qquad \mathrm{GSD}(Y) = \mathrm{e}^{\sigma_Y}, \tag{2} $$ respectivamente. Si resolvemos las ecuaciones en $(2)$ para $\sigma_X$ y $\sigma_Y$ y conéctalos a $(1)$ obtenemos $$ \mathrm{GSD}\left( \dfrac{X}{Y} \right) = \exp \left( \sqrt{ \left[ \ln \mathrm{GSD}(X) \right]^2 + \left[ \ln \mathrm{GSD}(Y) \right]^2 } \right). $$