¿Existe un análogo de convexidad para la media geométrica?

Question

La desigualdad de Jensen implica que $$f(x/2 + y/2) \leq f(x)/2 + f(y)/2$$ para convexos $f$ y la desigualdad se invierte si $f$ es cóncavo. ¿Existe una clase de funciones tales que desigualdades similares se mantienen para los medios geométricos, es decir, $$f( \sqrt {xy}) \leq \sqrt {f(x)f(y)}$$ o $$f( \sqrt {xy}) \geq \sqrt {f(x)f(y)}?$$

Answer 1

En general, $f$ es convexo si $f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$ para todos $0\leq t\leq 1$ . Una condición análoga para la media geométrica podría ser $f(x^ty^{1-t})\leq f(x)^tf(y)^{1-t}$ para $0\leq t\leq 1$ . En este caso, tenemos claramente $$f(\sqrt{xy}) = f(x^{1/2}y^{1/2})\leq f(x)^{1/2}f(y)^{1/2} = \sqrt{f(x)f(y)}$$ La condición contraria, correspondiente a la concavidad de la media geométrica, sería $f(x^ty^{1-t})\geq f(x)^tf(y)^{1-t}$ para $0\leq t\leq 1$ .

Algunos ejemplos: Llamemos a nuestra condición "convexidad exponencial", a falta de un término mejor. Un ejemplo de una función que es exponencialmente convexa y exponencialmente cóncava (y por lo tanto tiene convexidad exponencial cero) sería $x^p$ para $p\in \mathbb{R}$ . Observamos que $$f(x^ty^{1-t}) = (x^t)^p(y^{1-t})^p = (x^p)^t(y^p)^{1-t} = f(x)^tf(y)^{1-t}$$ Un ejemplo de función estrictamente exponencialmente convexa sería $e^x$ restringido a $x > 0$ . Observamos que $$f(x^ty^{1-t}) = e^{x^ty^{1-t}} < e^{tx+(1-t)y} = f(x)^tf(y)^{1-t}$$ para $x\neq y$ y $0 < t < 1$ por la desigualdad AM-GM ponderada. Por lo tanto, un ejemplo de función estrictamente exponencialmente cóncava sería $\log(x)$ restringido a $x > 1$ . Observamos que $$f(x^ty^{1-t}) = \log(x^ty^{1-t}) = t\log(x)+(1-t)\log(y) > \log(x)^t\log(y)^{1-t} = f(x)^tf(y)^{1-t}$$ para $x\neq y$ y $0 < t < 1$ también por la desigualdad AM-GM ponderada.