Cómo entender el porqué $x^0 = 1$ donde $x$ es cualquier número real?

Question

Muy bien, así que la idea de un exponente, $x$, es que se están multiplicando su base por sí misma $x$ número de veces. Con base $5$$x=3$, tenemos que $5^3$ = $5 \cdot 5 \cdot 5$

Entiendo que el logaritmo con base $a$$x = c$,

nos dice que

$$a^c = x$$

y para $c =$ positivo; los valores de $x$ son mayores de $1$,
y para $c =$ negativo; los valores de $x$ son de menos de $1$,
y para $c = 0$, los valores de $x$...$1$.

Así que, en resumen, entiendo cómo, por medio de la observación de la gráfica de $f(x) = \log x$, podemos ver que $f(1) = 0$, PERO, no veo otra manera de entender el porqué $x^0 = 1$, aparte de la gráfica y todo alrededor de ese punto.

Sinceramente, no puedo conseguir mi cabeza alrededor de la idea, "$5$ veces sí $0$ veces... es uno".

Es que no hay respuesta fundamental para esto, pero que simplemente sabemos por la gráfica? O puedo entender verdaderamente $x^0 = 1$ sobre su propia?

Answer 1

$x^{n+1}=x\cdot x^n$ derecho?

así

$x^1=x \cdot x^0$ pero $x=x^1$ así que para que tener cierto, $x^0$ debe $1$.

Al igual,

$\large x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Por lo $\large x^n \cdot x^{-n} = x^n \frac{1}{x^n} = 1$.

Pero $\large x^n \cdot x^{-n} = x^{n+(-n)} = x^0$, por lo que una vez más, $x^0=1$.

En realidad, hay muchas razones por las que celebrar, y todos ellos son sólo una consecuencia de algunos de los acuerdos que hemos hecho anteriormente.

Answer 2

No creo que de $x^n$$\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n\text{ copies}}$. En lugar de pensar de $x^n$ que representa el resultado de la partida con $1$ y la aplicación de "${}\cdot x$" $n$ horarios: $1\overbrace{{}\cdot x\cdot x\cdot{}\cdots{}\cdot x}^{n\text{ copies}}$.

Esto también hace que los exponentes negativos un poco mejor para los principiantes. $x^{-n}$ es simplemente aplicando el opuesto de a ${}\cdot x$, que es ${}\div x$, $n$ veces. $x^{-n}=1\overbrace{{}\div x\div x\div\cdots\,\div x}^{n\text{ copies}}$.

Answer 3

Hay muchas respuestas acerca de por qué la $x^0 = 1$ general $x$, por lo que me gustaría abordar un tema diferente aquí, la manera de pensar acerca de la exponenciación, que parece ser que te preocupa.

La definición que se utilice para la exponenciación es cierto para los enteros y los racionales si se define lo $x^{1/n}$ significa, pero ¿qué acerca de la irrationals? ¿Cómo se puede veces algo por sí mismo $\sqrt{2}$ veces? La respuesta es: ¡no se puede! Usted necesita venir para arriba con algunas de una manera sensata para definir la exponenciación con rigor.

Definimos $$e^x = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$ lo cual es absolutamente convergente para cualquier compleja $x$, y sólo depende de nosotros, la definición de lo $x^n$ significa que para los números naturales y $0$. Teniendo en cuenta la función restringida a los reales podemos usar esta definición para demostrar que la función es continua, diferenciable, tiene una inversa $\ln{x}$ y satisface todas las propiedades a las que estamos acostumbrados con la exponenciación. Para luego definir, $a^x$ $a \not= e$ nos dice $a^x = e^{a\ln(x)}$. Esto obedece a todas las propiedades que queremos que racional, $x$ y tiene la ventaja añadida de estar bien definido en la irrationals demasiado.

De hecho, la definición de $e^x$ incluso puede ser visto como una motivación para definir $x^0$ $1$. $x^n$ para cualquier natural $n$ se define de forma intuitiva, pero la elección de cualquier valor de $x^0$ no $1$ va a decir que esta definición de $e^x$ ya no va a obedecer las reglas que hemos llegado a conocer y amar por ejemplo,$e^{a+b} = e^{a}e^{b}$. Cuando se mire como esta, no hay otra opción!

Espero que encuentre útil!

Answer 4

Bien $5^{x} = 5^{0 + x} = 5^{0} 5^{x}$. Dividiendo por $5^{x}$ rendimientos $1 = 5^{0}$. Si se define en absoluto, no creo que usted tendrá una mejor elección.

Answer 5

$\dfrac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$ $a \gt 0$ . Ahora vamos a $b=c$.

Se puede obtener más complicado para $a \lt 0$ $b$ $c$ no enteros, mientras que para $a=0$ es sólo conveniente definición.