¿Por qué, si tenemos más columnas que filas, las columnas no pueden ser linealmente independientes?

Question

¿Por qué, si tenemos más columnas que filas, las columnas no pueden ser linealmente independientes?

Por ejemplo, supongamos que tengo un conjunto de vectores $\{ v_1, v_2, v_3, v_4\}$ , $\forall v_i \in \mathbb{R}^3$ .

Answer 1

Su pregunta está relacionada con el [dimensión](https://en.wikipedia.org/wiki/Dimension(vectorspace)) de un espacio vectorial. Hay algunos hechos fundamentales sobre este concepto, tales como:

1. Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, y $U\subset V$ es un subespacio, entonces $\dim U\leq\dim V$ .

2. Un conjunto de $n$ vectores linealmente independientes abarca un $n$ -espacio vectorial de dimensiones.

Combinando estos dos hechos se obtiene la prueba deseada.

Answer 2

Si $n$ es la dimensión de su espacio vectorial, entonces cualquier conjunto de vectores que contenga estrictamente más de $n$ los elementos no pueden ser linealmente independientes.

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Prueba

Denota por $(e_1,\ldots,e_n)$ la base estándar de $\mathbb R^n$ y supongamos que $(f_1,\ldots,f_{n+1})$ es linealmente independiente. Podemos escribir $$f_1=\sum_{k=1}^n a_k e_k$$ y como $f_1\ne 0$ , $\exists a_k\ne 0$ y WLOG suponen $a_1\neq0$ entonces $$e_1=\frac{1}{a_1}\left(f_1-\sum_{k=2}^n a_k e_k\right)$$ por lo que vemos que $(f_1,e_2,\ldots,e_n)$ abarca $\mathbb R^n$ .

Ahora repite el mismo método $n-1$ más veces y encontramos que $(f_1,\ldots,f_{n})$ abarca $\mathbb R^n$ por lo que el vector $f_{n+1}$ es una combinación lineal de los otros vectores $f_i$ que es una contradicción.

Answer 3

No soy muy bueno con las pruebas matemáticas o la notación de este sitio, pero aquí hay (espero) una manera más intuitiva de pensar en ello.

Para que los vectores sean linealmente independiente (artículo de Wikipedia) tenemos esto:

Se dice que un conjunto de vectores es lineal dependiente si uno de los vectores del conjunto puede definirse como una combinación lineal de los demás vectores. Si ningún vector del conjunto puede escribirse de este modo, se dice que los vectores son lineales independiente .

Intentemos hacer algunos vectores que no dependan unos de otros.

Definamos $v_x$ = <1, 0, 0> - Es decir, el vector unitario que va en la dirección del eje x (no tiene que ser un vector unitario, pero los vectores unitarios son divertidos así que es lo que estoy usando). Entonces también definimos $v_y$ = <0, 1, 0>, y $v_z$ = <0, 0, 1>.

Nota: $v_y$ y $v_z$ no puede definirse en términos de $v_x$ o entre sí - los tres vectores son independiente .

Esencialmente hemos definido los tres ejes que todos conocemos y amamos para $\mathbb{R}^3$ . Entonces, la pregunta es, ¿cómo definirás $v_w = <a, b, c>$ tal que a , b y c no puede estar hecho de alguna combinación de $v_x, v_y, v_z$ - y verás que no puedes hacerlo. No importa cómo defina $v_w$ lo definirá en términos de $v_x, v_y, v_z$ . Por ejemplo. $v_w = <0.5, 0.1, 0.2>$ = 0.5 $v_x$ + 0.1 $v_y$ + 0.2 $v_z$

Desde $v_w$ puede definirse en términos de los otros vectores, es dependiente .

También puedes hacer esto para otros espacios vectoriales, no importa su tamaño. La clave en un $\mathbb{R}^n$ espacio vectorial, es que tienes $n$ direcciones que se pueden mover y que son ortogonales entre sí. Una vez que tienes un vector que describe cada dirección ortogonal, no puedes hacer otro vector que no dependa de alguna manera de los vectores que ya tienes.

Answer 4

El número de filas es la dimensión del espacio vectorial. ( Esto es en realidad un teorema no tan trivial .) La dimensión, a su vez, es el número máximo de vectores linealmente independientes que puede tener un conjunto. Esto demuestra lo que se busca.

Answer 5

La prueba más directa que he visto hace una matriz a partir de los vectores, tomados como filas. Añade columnas de ceros para elevar al cuadrado la matriz, y toma el determinante. Con una o más columnas de ceros, el determinante es cero, por lo que las filas deben ser dependientes. Las columnas de ceros no cambian la dependencia de las filas, por lo que los vectores originales deben ser dependientes.