Producto Interno en Álgebras de División

Question

Aquí, Wikipedia ofrece una prueba de que la única finito dimensionales asociativa de la división de álgebras de más de $\mathbb{R}$$\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$.

La prueba se procede a tomar una división de álgebra $D$, observando que la multiplicación por $d \in D$ da un endomorfismo de $D$ que puede ser representada por una matriz que corresponde a $d$. Entonces, consideramos que la $V \subset D$, el subespacio de $D$ correspondiente a las matrices con traza $0$. En algún punto, un producto interior de $V$ $\langle a, b \rangle=-ab-ba$ aparece. En mi comprensión actual (licenciatura de matemáticas) este producto interior parece misterioso. Puedo probar que funciona, pero no entiendo por que es una elección natural. Alguien puede darme algunos detalles?

Edit. Hay tal vez una manera de pensar acerca de este resultado con el uso de la Mentira de la Teoría?

Answer 1

Deje $A$ ser finito dimensionales de la división de álgebra $\mathbb R$. El conjunto $A'$ de todos los $u\in A$ s.t. $u^2\leq 0$ es un subespacio en $A$. La prueba de las necesidades de algunos cálculos. Lo que podemos escribir es que

$$u^2=-Q(u)\leq 0,$$

para todos los $u\in A'$, $Q(u)\in\mathbb R$ s.t. $Q(u)\geq 0$. Por otra parte, como $A$ es un álgebra de división

$$u=0\Leftrightarrow Q(u)=0,$$

y $Q(au)=a^2Q(u)$. La simétrica de la forma bilineal $B(u,v)$ en el OP se deduce de $Q(u)$ como sigue:

$$B(u,v):=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)=-(uv+vu).$$

Y ahora? Puede utilizar $B(u,v)$ a deducir la existencia de un ortonormales base del subespacio de $A$, lo que genera como un álgebra. Este es el punto de vista considerado en la Wikipedia de la prueba. Uno trabaja en la (finito) de la dimensión de $A$ a clasificar finito dim. división de álgebras, de llegar al resultado.