No hay secuencia infinita$x_1 \ni x_2 \ni x_3 \ni ...$

Question

Tomamos los axiomas "usuales" de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (axioma de la extensión, axioma del conjunto desordenado, axioma del conjunto de la suma, axioma del conjunto de potencia, axioma del conjunto vacío, axioma de elección etc.) y Suponga que cada conjunto sólo contiene otros conjuntos (excepto$\emptyset$).

¿Podemos probar que no hay secuencia infinita $x_1 \ni x_2 \ni x_3 \ni ...$?

Answer 1

Por supuesto.

Uno de los "habituales" axiomas de la $\sf ZF$ es el axioma de regularidad, que los estados que no si $X$ es no vacío, entonces hay algunas $y\in X$ tal que $y\cap X=\varnothing$.

Supongamos que una secuencia de existir. ¿Qué significaría? Esto significa que no hay una función de $F$ cuyo dominio es$\omega$$F(n+1)\in F(n)$. El uso de reemplazo, tome $X$ a ser el rango de $F$, entonces no hay ningún elemento de $X$ que es distinto de él. Contradicción.

Si uno omite el axioma de regularidad, entonces la respuesta es negativa. Es coherente que hay como la disminución de las cadenas.

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Uno debe señalar, sin embargo, que es posible que exista un modelo de $\sf ZF$ que no tienen una disminución de la cadena, pero la función de $F$ como en el anterior no puede ser nunca un elemento del modelo.