En la regresión por MCO, lo que hace una unidad de cambio en X representan en términos de una beta relacionados con el cambio en Y cuando la variable de resultado ha sido transformado a $1/\sqrt(Y)$?
(Transformación se realiza para asegurar la linealidad en el modelo. A mi las variables predictoras son 0-1 dummies.)
He consultado los siguientes posts, pero aún no sé cuál es la respuesta:
http://stats.stackexchange.com/a/2148
El modelo es
$$\frac{1}{\sqrt{Y}} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \cdots + \beta_p X_p + \varepsilon$$
donde $Y$ es el original resultado, el $X_i$ son las variables explicativas, el $\beta_i$ son los coeficientes, y $\varepsilon$ son iid, la media de cero términos de error. Escrito $b_i$ para la estimación del valor de $\beta_i$, vemos que una unidad de cambio en $X_i$ agrega $b_i$ a la derecha. A partir de cualquier conjunto básico de valores de $(x_1, \ldots, x_p)$, esto induce a un cambio en los valores predichos de $\widehat{1/\sqrt{y}} = b_0 + b_1 x_1 + \cdots + b_p x_p$$\widehat{1/\sqrt{y'}} = b_0 + b_1 x_1 + \cdots + b_p x_p + b_i$. Restando la primera ecuación de la segunda da
$$\frac{1}{\sqrt{\hat{y'}}} - \frac{1}{\sqrt{\hat{y}}} = b_i.$$
La solución para $\hat{y'}$ da
$$\hat{y'} = \frac{\hat{y}}{1 + 2b_i\sqrt{\hat{y}} + b_i^2 \hat{y}}.$$
Uno puede parar aquí, pero a menudo buscamos más simples expresiones: el comportamiento de este podría no ser tan fácil de entender que el modelo original. La simplificación se puede lograr siempre $b_i$ es muy pequeña. Si es necesario, podemos contemplar un pequeño cambio en $X_i$, dicen, por un importe $\delta$, que vendría a sustituir a $b_i$ en la anterior ecuación por $\delta b_i$. El uso de una lo suficientemente pequeño valor de $\delta$ asegurará el denominador está cerca de a $1$. Cuando es así,
$$\frac{\hat{y}}{1 + 2\delta b_i\sqrt{\hat{y}} + \delta^2 b_i^2 \hat{y}} \approx \hat{y}(1 - 2\delta b_i\sqrt{\hat{y}} - \delta^2 b_i^2 \hat{y}),$$
donde el cambio en los valores de la predicción es
$$\hat{y'} - \hat{y} \approx -\delta (2b_i\sqrt{\hat{y}} + \delta b_i^2 \hat{y}).$$
Tomando $\delta$ a ser tan pequeño que $\delta b_i^2 \hat{y} \ll 2 b_i\sqrt{\hat{y}}$ nos permite colocar el segundo término en el lado derecho. Es decir, por cambios muy pequeños, el resultado previsto de los cambios por $-(2b_i\sqrt{\hat{y}})$ veces la cantidad de variación en $x_i$.
La aparición de el signo negativo indica que un aumento en el $X_i$ disminución $Y$ al $b_i$ es positivo y el aumento de la $Y$ al $b_i$ es negativo. Normalmente, podemos evitar (potencialmente confuso) inversión de señal mediante el uso de $-1/\sqrt{Y}$ en lugar de $1/\sqrt{Y}$ cuando se hace una recíproca transformación de raíz cuadrada (o cualquier otra transformación que invierte el orden de los números).
Este método de solución es siempre aplicable no importa cuán $Y$ se re-expresa, pero puede conducir a un complicado álgebra para otras transformaciones de $Y$. Aquellos que conocen los conceptos básicos de cálculo diferencial va a reconocer que todo lo que estamos haciendo aquí es aproximar el cambio en $\hat{y}$ a de primer orden con su derivada con respecto a $x_i$, por lo que será capaz de evitar la mayoría de las manipulaciones algebraicas.
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