Problemas con la intuición del gradiente

Question

Actualmente estoy aprendiendo acerca de los gradientes, y pensé khanacademy podría ayudarme a adquirir algunas de las de la intuición. El cálculo en sí está claro para mí, sin embargo estoy teniendo problemas para entender la intuición.

Este es el video que estoy hablando, y la parte que tienen una parte que es 6:11. Él dice que el vector gradiente se muestra la dirección en la que usted tiene que viajar en la x,y el plano con el fin de obtener una pendiente máxima en la dirección z.

Esto suena como una tontería a mí. ¿Cómo se han de 'viajar'? ¿Por qué se tiene una pendiente máxima? Sólo tengo ni idea.

Answer 1

En cada punto de la $xy$-plano de la función que tiene le da un valor. Normalmente este valor se visualiza como la altitud, es decir, un $z$-valor, pero puede ser cualquier otra cosa. Los ejemplos que vienen a la mente son de tonos grises (si $xy$-plane es un blanco y negro de la imagen), la densidad (si $xy$-plane es un plato hecho a partir de diferentes materiales), o, tal vez el más importante, el potencial en algún campo de fuerza (a menudo gravitacional o los campos eléctricos). Por supuesto, en la práctica, estos ejemplos, rara vez le da una función que es excelente para el trabajo, pero en los ejemplos de libro que funciona normalmente.

Ahora, imagínese que usted está caminando alrededor de la $xy$-plano, oler o la medición de dicho valor, lo que representa. En algún punto en el tiempo que están de pie en el punto de $(5, 3)$, y el gradiente de la función en ese punto es $(-1, 2)$. Esto significa que si usted gire alrededor de lo que está frente a la dirección $(-1, 2)$ en el punto de $(5, 3)$ (que es, usted está buscando directamente en el punto de $(4, 5)$), que es la dirección donde (al menos para la primera gazillionths de un medidor de viaje) de su valor aumentará la forma más rápida de todas las instrucciones que usted puede escoger.

Que puedo hacer aún mejor. Puedo decirle cuánto va a crecer para que gazillionths de un metro. Dado que la amplitud del gradiente es $\sqrt 5$, el valor de la función crecerá aproximadamente $\dfrac{\sqrt{5}}{\text{gazillion}}$ de lo que unidad se mide en. (Aproximadamente debido a que, incluso más que en la distancia corta, el gradiente podría cambiar un poco. El estudio de cómo estos cambios afectan el resultado final es lo de ecuaciones diferenciales parciales, y especialmente el uso de computadoras para resolver ellos, son todos acerca de. Pero esa es otra historia completamente)

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Viajando en el $xy$-plane es algo que los matemáticos hacen todo el tiempo. Cuando usted finalmente consigue algo de intuición, es mucho más fácil (y más divertido) para jugar con esa intuición si usted imagínese estar en un punto en el plano y el pie, en lugar de sólo imaginar un punto moviéndose a su alrededor.

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También, como de por qué el gradiente le da una máxima pendiente, a decir de nuevo que tiene un gradiente de $(-1, 2)$ en el punto de $(5, 3)$. Eso significa que si vas a partir de ese punto, y se mueve en paralelo a la $x$-eje (para una distancia muy corta), en la dirección positiva (hacia la $(6, 3)$), entonces el valor de la función será la disminución en la velocidad de la $1$ por metro de recorrido. Esto es, después de todo, ¿el $-1$ $(-1, 2)$ llegó a estar en el primer lugar. Así que si desea que el valor de incremento, es mejor moverse en el negativo de la $x$-dirección.

Del mismo modo, si usted se mueve en el sentido positivo del $y$-dirección (hacia la $(5, 4)$), el valor de la función aumentará por $2$ por metro de recorrido. Así que usted puede ver que la función crece más rápido en el positivo $y$-la dirección en la que en el negativo de la $x$-dirección. Sin embargo, la dirección que le dará el de más rápido crecimiento es una equilibrada mezcla de los dos. Por lo tanto ambas las direcciones $(-1, 0)$ $(0, 1)$ le dará el crecimiento, pero el crecimiento más rápido es la dirección de la $(-1, 2)$. Dos veces como mucho en el $y$-dirección debido a que la función crece dos veces más rápido que la forma como en el $x$-dirección.

Answer 2

He aquí otro punto de vista. A partir de una sola variable de cálculo, sabemos que si una función $f$ es diferenciable en a $x$, luego \begin{equation} f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x \end{equation} y la aproximación es buena cuando se $\Delta x$ es pequeña.

La situación en multivariable cálculo es análogo. Supongamos $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ es diferenciable en un punto de $x = (x_1,x_2) \in \mathbb R^2$. Entonces \begin{equation} f(x+\Delta x) \approx f(x) + \langle \nabla f(x), \Delta x \rangle \end{equation} y la aproximación es buena cuando el vector $\Delta x$ es pequeña.

Podríamos preguntar, ¿cómo debemos recoger $\Delta x$, de modo que $f(x + \Delta x)$ es tan grande como sea posible? Sin duda no queremos $\Delta x$ estar apuntando en la dirección opuesta como $\nabla f(x)$, debido a que, a continuación, $\langle \nabla f(x), \Delta x \rangle$ será negativo-el valor de $f$ disminuirá! Tampoco queremos que los $\Delta x$ ser ortogonales $\nabla f(x)$, debido a que, a continuación,$\langle \nabla f(x), \Delta x \rangle = 0$, que no parece ayudar a $f$ crecer más. Queremos recoger $\Delta x$ a estar en la misma dirección como $\nabla f(x)$.