Las diferentes interpretaciones de los módulos de pilas

Question

Estoy dando mis primeros pasos en el idioma de las pilas, y quisiera algo aclarado. La idea intuitiva de módulos de espacios es que cada punto corresponde a un objeto de lo que estamos tratando de clasificar (curvas suaves de género g en ℂ, por ejemplo). Multa módulos de espacios se definen los objetos que representan el functor que toma un objeto y le da la [set, de los esquemas; groupoid, como yo lo entiendo, para pilas] de las formas en que ese objeto parametrizes familias de el objeto que desea clasificar. Ahora, para los regímenes de esto tiene sentido en la siguiente forma:

Deje que functor ser F, y sea representado por M. Entonces F(Spec ℂ) son las familias de los (deseado) de los objetos parametrizadas por Spec ℂ (un punto), por lo que corresponde a todos los objetos deseados (los que queremos clasificar). Pero F(Spec ℂ) también Hom(Spec ℂ, M), y así corresponde a los puntos cercanos de M. por Lo tanto M realmente, de forma intuitiva, tiene como puntos de los objetos que se desea clasificar.

Esta idea ir a través de los módulos de pilas? Por supuesto, probablemente no, y todo esto es probablemente algo pero siento que necesito a alguien que me aseguro de que yo no estoy loco. Así que permítanme poner la pregunta como esta: ¿Puede usted formular cómo pensar de una multa de los módulos de la pila (como un objeto que representa una F como las anteriores; también: ¿cómo definirías este F en la categoría de pilas?) de una manera que deja claro que parametrizes los objetos deseados?

Answer 1

Sí, tienes la idea correcta! Dices que tienes algunos de los módulos problema, por ejemplo, usted tiene cierta clase de objetos X sobre C usted está interesado en, y quiere decir lo que el espacio de moduli de X, es decir, como una variedad o de la pila o lo que sea) sobre C. La idea es que se puede describir una variedad por cómo otras variedades mapa-Yoneda del Lexema. Por lo que el espacio de moduli M determinará si usted sabe cómo llamar Hom(T,M) para cada variedad T. Ciertamente, si T=Spec(C) es el punto, este debe ser el conjunto original (groupoid, lo que sea) de los objetos de X sobre C, pero en general Hom(T,M) debe ser el conjunto de familias de X continuamente parametrizada por T, que normalmente está muy bien codificadas por los planos de la familia T sobre cuyas fibras más C-puntos de X.

Así, en resumen, la noción de un espacio de moduli como un functor exactamente codifica la idea de que los puntos de un espacio de moduli deben ser los objetos que se está tratando de definir parámetros. Sólo se debe usar "puntos" en el contexto más general de los mapas de una arbitraria variedad de T, y ser capaz de decir lo que significa dar a un objeto del tipo que usted está interesado en más de un arbitrarios, T. Esto no es formalmente determinado por el caso T=Spec(C) un punto, pero en general existe una extensión natural de hacer.

Answer 2

Yo te aseguro que no estás loco. No sólo la idea de ir a través de las pilas, pero es imposible (o al menos muy difícil) para hacer sentido de pilas sin esa idea.

Si usted está tratando de parametrizar wigits, usted puede construir un functor F(T)={plana familias de wigits sobre T}. Si hay un espacio M que merece ser llamado el espacio de moduli de wigits, debe representar F. no Es sólo que los puntos de M debe corresponder a clases de isomorfismo de wigits, por lo que debemos tener F(Spec ℂ)=Hom(Spec ℂ,M). Los puntos que están conectados en el camino correcto. Por ejemplo, una familia de widits a través de una curva debe corresponder a una elección de wigit para cada punto de la curva en forma continua, por lo que debe corresponder a una de morfismos de la curva a M.

Lo que ocurre es que si wigits han automorfismos, no hay ninguna esperanza de encontrar un objeto geométrico M, de forma que se asigna a M son la misma cosa como la plana (leer "continuo"), las familias de wigits. La razón es que cualquier objeto geométrico debe tener la propiedad que se asigna a lo que puede ser determinado a nivel local. Es decir, si U y V cubierta de T, la especificación de un mapa de T a M es la misma como la especificación de los mapas de U y V a M que está de acuerdo en U∩V. La jerga de esto es "representable functors son gavillas." Si un wigit X tiene una automorphism, entonces usted puede imaginar una familia de wigits más de un círculo, de modo que todas las fibras son X, pero como usted se mueve alrededor del círculo, se pone "torcido" por la automorphism (si quieres pensar puramente algebro-geométricamente, el uso de una circular de la cadena de ℙ¹s en lugar de un círculo). A nivel local, tiene un trivial de la familia de wigits, por lo que el mapa debe corresponder a una constante mapa para el espacio de moduli M, pero que correspondería a la trivial de la familia a nivel mundial, que este no lo es. Oh, querido!

En lugar de perder la esperanza por completo, el truco es reemplazar el functor F por un "groupoid valores functor" (fibrado categoría), por lo que los automorfismos de objetos se registran. Ahora, por supuesto, no va a ser un espacio de representación de F, ya que cualquier espacio representa un conjunto de valores functor, pero resulta que a veces revive la esperanza de que F está representada por algunos de los míticos "objeto geométrico" M en el sentido de que los objetos en F(T) (que debe corresponder a los mapas, a M) se puede determinar a nivel local. Si esto es cierto, podemos decir que el F "es una pila" o "M es una pila." Parte de lo que hace su pregunta difícil es que como las cosas se stacky, la línea entre la M y F se vuelve más borrosa. M no es en realidad otra cosa que F. que sólo tiene que llamar a M y tratarla como un objeto geométrico porque satisface esta encolado condición. Normalmente queremos M para ser más geométrica que eso; queremos que tienen una cubierta (en algún sentido preciso) por un honesto espacio. Si lo hace, entonces decimos: "M (o F) es una expresión algebraica de la pila" y resulta que usted puede hacer geometría real.