Análisis complejo y álgebra

Question

Hay dos resultados en el Análisis Complejo que tienen su contrapartida en el Álgebra:

-Si consideramos el anillo de funciones holomorfas en un conjunto abierto $\mathcal H(U)$ con la suma y el producto habituales, todo ideal finitamente generado es principal. De hecho es generado por cualquier función holomorfa que desaparece exactamente donde el ideal $I$ y con la misma multiplicidad.

Esto es lo mismo que en $\mathbb C[X]$ (aunque aquí todos los ideales están finitamente generados), donde cada ideal está caracterizado por los ceros y las multiplicidades.

-En varias variables complejas, una función que es holomorfa en $U\setminus\{p\}$ es holomorfo en $U$ .

Si nos limitamos a las funciones racionales $\displaystyle \frac{p(z)}{q(z)}$ Esto sería un corolario del hecho de que $q(z)=0$ tiene codimensión $1$ . Por lo tanto, no puede ser un punto.

Mi pregunta es si es una coincidencia que en estos dos casos las funciones holomorfas actúen de forma algo similar a los polinomios, o si es un caso de un fenómeno más general.

Answer 1

Como observa Qiaochu, existe una teoría general de la geometría algebraica y analítica. Permítanme intentar esbozar las ideas (al menos, tal y como yo las entiendo).

Los objetos básicos de la geometría algebraica son las variedades algebraicas: son los espacios (para ser formales, espacios localmente anillados ) que localmente parecen el conjunto cero de una colección de ecuaciones polinómicas en algún $\mathbb{C}^n$ (o más generalmente sobre un campo algebraicamente cerrado). Los objetos correspondientes en la geometría analítica compleja son las variedades analíticas: son los espacios localmente anillados que vienen dados localmente por el lugar de fuga de un número finito de funciones holomorfas $f_1, \dots, f_n$ en una bola $U \subset \mathbb{C}^n$ (y con una gavilla de anillos adecuada). Existe un functor ("analización") de las variedades algebraicas complejas a las variedades analíticas complejas. Este functor no es completo (hay variedades analíticas, incluso compactas, que no surgen de variedades algebraicas), ni es fiel (hay funciones holomorfas que no son algebraicas).

Sin embargo, existen varios teoremas de comparación conocidos como GAGA (tal y como se introdujeron en el artículo de Serre, descrito en el enlace de Wikipedia). Esencialmente, el resultado es que para un adecuado variedad sobre $\mathbb{C}$ En el caso de la variedad algebraica, las gavillas coherentes y las gavillas coherentes de la analítica son la misma cosa (más formalmente, hay una equivalencia de categorías), y la cohomología (en grado cero, esto significa secciones globales) es la misma. En particular, se deduce que las funciones analíticas definidas globalmente son todas algebraicas. Todavía hay que repetir que esta historia de GAGA depende de una variedad propia compleja fija (que ya se da por algebraica).

No sé si la observación que has hecho encaja en la historia de GAGA. Pero al menos cabe esperar algunas similitudes entre las construcciones que se pueden hacer en las categorías algebraicas y analíticas (aunque las técnicas que se necesitan suelen ser diferentes en los dos casos).