Un mapa que es trivial en homología pero no en cohomology?

Question

¿Existe un mapa$f:X\to Y$ de complejos CW conectados que induce el mapa trivial$f_*=0:H_i(X,\Bbb Z) \to H_i(Y,\Bbb Z)$ para todo$i\ge 1$, pero con la propiedad de que el mapa inducido en cohomology$f^*:H^i(Y,\Bbb Z)\to H^i(X, \Bbb Z)$ no es cero para al menos uno $i \ge 1$?

Obsérvese que el teorema del coeficiente universal no implica a priori que el mapa inducido sea trivial porque la división$H^i(X, \mathbb{Z}) = H_i(X, \mathbb{Z})^* \oplus \operatorname{Ext}^{i-1}(X, \mathbb{Z})$ no es natural. Puesto que no veo ninguna otra razón en contra, creo que tal contraejemplo debe existir.

Answer 1

Tome la esfera$n$ - y adjunte una$n+1$ - celda con un grado$m$ map. Considere$X \to X/S^{n+1}$ donde$X$ es el espacio descrito.

Puede anotar los complejos de la cadena celular:

$$ \begin{array}{c} \cdots & \to& 0 &\to& \mathbb Z&\stackrel {* m} \to& \mathbb Z & \to &0& \cdots \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow \\ \cdots & \to &0&\to&\mathbb Z& \to&0& \to & 0 &\cdots \end {array} $$

Aplicar homología, matará todos los mapas posibles (los grados donde los grupos no triviales se encuentran son disjuntos, excepto el grado trivial).

Aplique$hom(-,\mathbb Z)$ y luego homología (es decir cohomología), obtendrá en grado$n+1$ el mapa de cociente$\mathbb Z \to \mathbb Z/m$.

Answer 2

Puedes ver el ejercicio 11 del capítulo 3.1 de hatcher.let X obtenido de$S^n$ adjuntando una celda de grado m. Puedes ver fácilmente (por homología celular y cohomología) que el mapa$X\to X/S^n$ es trivial en$H_i$ Pero no en$H^{n+1}$