¿Por qué algunas curvas no admiten recubrimientos etale?

Question

Sea$C$ una curva proyectiva no singular del género$g\geq2$ sobre$\mathbb{C}$.

Si$g\geq 3$ y$C$ es general, ¿por qué$C$ no admite coberturas étnicas$\pi:C\rightarrow C'$ de grado$>1$? ¿Se debe esto al hecho de que una curva general del género$g\geq 3$ no tiene automorfismos?

Si$g=2$, ¿por qué ninguna curva$C$ de este género admite capas étnicas$C\rightarrow C'$? (Creo que pensé en esto: esto se deduce de la fórmula de Riemann-Hurwitz).

Answer 1

Para responder a la pregunta acerca de $C \to C'$, probablemente hay varias maneras para esto, probablemente incluso más fáciles que las que me voy a sugerir.

Si se fija un género $g',$ y considerar etale portadas de algunos fija grado $d$$C'$, se obtiene de las curvas de $C$ de algunos prescrito género $g$ (dado por la definición de la integral--Hurwitz fórmula). Ahora $C'$ depende de $3g' - 3$ parámetros (esta es la dimensión del espacio de moduli de género $g'$ curvas), y tiene sólo un número finito de etale cubre fijo de grado. Así las curvas de $C$ que admite etale morfismos $C \to C'$ solo depende de los $3g'-3$ parámetros. Pero el espacio de moduli de género $g$ curvas es de dimensión $3g -3$, por lo que la mayoría de las curvas de no surgir como tal etale cubre.

Otra forma de pensar sobre el problema (pero no sé cómo demostrar de esta manera) es que si tenemos un etale cubierta $C \to C'$ entonces obtendremos un morfismos de Jacobians $\mathrm{Jac}(C') \to \mathrm{Jac}(C)$, y por lo $\mathrm{Jac}(C)$ no es un simple abelian variedad. Pero, de forma heurística, no hay ninguna razón para esperar que un general de la curva de $C$, su Jacobiano no sería sencillo. (Un problema con este enfoque es que la mayoría de abelian variedades no surgen como Jacobians en todo, y así, mientras me resulta sugerente, no es más que eso, tal y como está.)