Paul Erdős mostró una estimación simple para$\pi(x) \ge \frac{1}{2}\log_2 x$; ¿Es posible ajustar su argumento para mejorar la estimación?

Question

Paul Erdős dio un simple argumento para mostrar que $\pi(x) \ge \dfrac{1}{2}\log_2 x$.

Es posible ajustar el argumento y obtener una mejor estimación? Me pregunto cómo una buena estimación de $\pi(x)$ puede lograrse mediante una variación de su razonamiento.

He explorado la posibilidad de cambiar de $m^2$$m^3$, de modo que tenemos por cualquier $y \le x$, tenemos:

$y = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_n^{e_n}m^3$ $e_i\in\left\{0,1,2\right\}$ $m \in \mathbb{Z}$

Pero esto nos lleva a: $m \le \sqrt[3]{x}$, de modo que $3^n\times \sqrt[3]{x} \ge x$$\pi(x) \ge \dfrac{2}{3}\log_3 x$, lo que es más débil de lo $\pi(x) \ge \dfrac{1}{2}\log_2 x$

Alguien ha pensado en otros creativo ajustes que pueden mejorar el resultado?

Answer 1

La misma idea también da$p_n\leq 4^n$ y una mejora bastante trivial de que es:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org
Si$n\in\Bbb Z_+,\;1\leq x\leq p_n\implies x=p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}\cdot m^2,\;e_i=0,1\wedge\;m^2<p_n$ entonces$e_n=1$ y si$0=e_1=\cdots=e_{n-1}$ hay como máximo$e_n=0$ formas de elegir$2^{n-1}$. Similar a Erdős proof$x$ que da$p_n\leq(2^{n-1}+1)\sqrt p_n$.

Un desafío sería probar$p_n\leq (2^{n-1}+1)^2$ sin usar el teorema del número primo.