¿Existe tensión en un muelle sin masa que une dos cuerpos en caída libre en planos horizontales diferentes?

Question

Dos cuerpos A y B de la misma masa $m$ están unidos con un muelle sin masa y cuelgan de un techo con una cuerda sin masa. Están en el mismo plano vertical pero no en el mismo plano horizontal.

Ahora la cadena que conectaba A con el techo se corta y el sistema experimenta caída libre.

1. ¿Hay tensión en el muelle?

Mi intento:

Ahora todo el sistema debe descender con la aceleración $g$ y el cuerpo B (y también A ) experimenta una atracción gravitatoria $mg$ . Sea la tensión del muelle T .

Por lo tanto, a partir del diagrama de cuerpo libre de B , $mg - T = mg$ es decir. $T=0$ .

2. Pero A también se mueve hacia abajo, por lo que ejerce una fuerza sobre B ¿Cómo tenerlo en cuenta? ¿Habrá una aceleración relativa entre A y B ? Estoy confundido acerca de los diagramas de cuerpo libre de A y B .

3. ¿Cambiará la tensión si la masa de A y B son diferentes?

Answer 1

Hay tensión en el muelle. Está extendido y por lo tanto hay tensión. Es el centro de masa el que cae con la aceleración $g$ en lugar de cada masa individual. Así que la ecuación $$mg-T=mg$$ no es válido. A medida que las dos masas caigan, oscilarán (acercándose y alejándose) y la tensión oscilará.

Llamemos a la distancia caída por la masa $A$ , $x_A$ y el caído por la masa B $x_B$ la ecuación de movimiento para cada masa viene dada por: $$m \ddot x_A=mg+T$$ $$m \ddot x_B=mg-T$$ $T$ es función de $x_A$ y $x_B$ , ( $T=k(x_B-x_A-L)$ donde $k$ es la constante del muelle, y $L$ es la longitud natural) y no podemos suponer que $\ddot x_A=g$ o $\ddot x_B=g$ . Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales acopladas y pueden resolverse de varias maneras.

Answer 2

La respuesta es que depende de cómo se mueva la masa inicial cargada por el muelle. Pero La parte fascinante (aunque no demasiado fascinante si lo expresas así) es que hasta que la onda de compresión de la parte superior no interactúe con la parte inferior del slinky, la dinámica de la mitad inferior no cambiará.

Si suponemos que estaba en reposo, esencialmente la masa superior se moverá lo suficientemente rápido como para que el centro de masa se acelere a $9.8 m/s^2$ . Cuando alcance la verdadera longitud de equilibrio de la cuerda sin gravedad, empezará a acelerar la masa inferior. En este punto, si miraras desde el marco COM, el muelle parecería oscilar como lo hace normalmente. Esto se debe a que las oscilaciones que se producen aquí se denominan frecuencias propias. La otra frecuencia propia (ya que este problema tiene 2 variables independientes) es el movimiento del COM. Con el movimiento del COM y el movimiento de ambas masas alrededor del COM tienes toda la información necesaria para reconstruir la dinámica de tus masas.

Una gran demostración de ello es el slinky de este vídeo, que es como un muelle con una longitud de equilibrio cero:

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_314765&feature=iv&src_vid=eCMmmEEyOO0&v=uiyMuHuCFo4

Answer 3

¿Hay tensión en el muelle?

Dejando a un lado las oscilaciones mencionadas por Joseph y Skyler: sí, debido a la fuerza de marea. En situaciones normales es tan leve que no se puede medir, pero está ahí. Véase el gráfico de potencial gravitatorio en Wikipeda:

Imagen CC BY-SA 3.0 de AllenMcC, ver Wikipedia Commons

Esto se podría deducir colocando relojes ópticos a lo largo de una franja ecuatorial del espacio que atraviese y rodee la Tierra, y luego trazando las frecuencias de los relojes. La pendiente del gráfico o primera derivada del potencial está relacionada con la fuerza de gravedad. Donde es más pronunciada, la fuerza de la gravedad es mayor. La curvatura del diagrama está relacionada con la fuerza de marea. Aunque ligera, la segunda derivada del potencial está relacionada con la fuerza de marea. Tensor de curvatura de Riemann y se dice que es la característica definitoria de un campo gravitatorio, porque sin ella su parcela no puede fuera de la plana y nivelada en el centro. Si tu parcela fuera toda plana y horizontal, no podrías tienen un campo gravitatorio. Así que, aunque leve, la fuerza de marea está ahí. Usted no la notaría si sus masas y muelles cayeran en una habitación, pero sí si cayeran en un agujero negro estelar. Espaguetización ocurriría:

"En astrofísica, la espaguetización (a veces denominada efecto fideo) es el estiramiento vertical y la compresión horizontal de los objetos en formas largas y delgadas (como espaguetis) en un campo gravitatorio no homogéneo muy intenso; está causada por fuerzas de marea extremas. En los casos más extremos, cerca de agujeros negros, el estiramiento es tan poderoso que ningún objeto puede resistirlo, por fuertes que sean sus componentes."