Límite superior en el rango de la curva elíptica$y^{2} =x^{3} + Ax^{2} +Bx$

Question

Se me dijo el siguiente "Teorema": Sea$y^{2} =x^{3} + Ax^{2} +Bx$ una curva cúbica no singular con$A,B \in \mathbb{Z}$. Entonces el rango$r$ de esta curva satisface

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Donde$r \leq \nu (A^{2} -4B) +\nu(B) -1$ es el número de divisores primos positivos distintos de$\nu(n)$.

No puedo encontrar un nombre para este teorema o una referencia, y me pregunto si es un resultado bien conocido, o si es incluso cierto. ¿Alguien ha visto este resultado o tiene una sugerencia sobre dónde puedo encontrar una referencia. Gracias.

Answer 1

Racional de curva elíptica $E_{/\mathbb{Q}}$ se puede poner en la forma en que dio a si y sólo si tiene un punto racional de la orden de $2$: en la ecuación dada, $(0,0)$ orden $2$, y en general, cualquier punto de la orden $2$ puede ser "movido" a $(0,0)$ por un cambio de variables.

Por lo tanto, usted está en la situación general de "bajada por $2$-isogeny". Esto está cubierto, por ejemplo (pero especialmente bien) en $\S X.4$ de Silverman del texto seminal de la Aritmética de Curvas Elípticas: véase, en particular, Ejemplo 4.8, la Proposición 4.9 y el Ejemplo 4.10. Aunque no he hecho el cálculo del yo (al menos no lo suficientemente reciente como para recordar), creo que el límite superior del rango que desea es exactamente lo que sale de esta discusión general, y el Ejemplo 4.10 funciona un caso particular.

(Por supuesto, por favor, hágamelo saber si esto resulta no ser el caso...)

Answer 2

Dos coautores y yo incluimos una prueba de este hecho en nuestro artículo , para hacer nuestro artículo autónomo (pero no pretendemos ser los primeros en señalarlo). Como explica Pete Clark, se sigue fácilmente del método de descenso a través de la 2-isogenia.

Answer 3

Está en el libro de Álvaro Lozano-Robledo. De hecho, usted puede encontrar en línea.

Http://www.math.uic.edu/~wgarci4/pcmi/PCMI_Lectures.pdf

Es el Teorema 2.6.4 en la página 42.

Answer 4

Creo que esto es una referencia .

Answer 5

El límite también se demuestra en Knapp "Elliptic Curves", p. 107, Capítulo IV, Sección 7.