Todas las soluciones enteras para$x^4-y^4=15$

Question

Estoy tratando de encontrar todas las soluciones enteras para$x^4-y^4=15$. Sé que las opciones son$x^2-y^2=5, x^2+y^2=3$, o$x^2-y^2=1, x^2+y^2=15$, o$x^2-y^2=15, x^2+y^2=1$, y la última$x^2-y^2=3, x^2+y^2=5$.

Sólo el último es válido. $x^2+y^2=15$ No es solucionable ya que los primos que tienen el residuo$3$ modulo$4$ no tienen una potencia igual.

Una solución particular para$x^2-y^2=3, x^2+y^2=5$, es$x_0=2, y_o=1$. ¿Cómo llego a una expresión de una solución general para este sistema?

¡Gracias!

Answer 1

$$(x^2-y^2)+(x^2+y^2)=2x^2=3+5=8\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2,-2$ $$$(x^2+y^2)-(x^2-y^2)=2y^2=5-3=2\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=1,-1$ $ Sustituya los valores para comprobar que estos son realmente los soloutions.

Answer 2

En primer lugar, suponga que$x$ y$y$ son estrictamente positivos.

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org De estos tres factores, sólo el primero puede igualar 1. Así que deben ser 1, 3 y 5. De 1 y 3 ya obtienes$x^4 - y^4 = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)$, y entonces solo tienes que comprobar que esta es una solución válida.

Ahora permitimos que las soluciones negativas, para obtener$x=2, y=1$.

Answer 3

Considerar $f(x) = (x+1)^4 - x^4 = 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$. Entonces$f'(x) = 12x^2 + 12x + 4 = 3(2x+1)^2 + 1$, que siempre es positivo. Así que f (x) es siempre creciente, lo que significa que para y más de 1 no tenemos soluciones válidas. Del mismo modo puede ir a los negativos y ver que y no puede ser menor que -1. Ahora sólo tiene que comprobar un conjunto muy limitado de valores, para y va de -1 a 1 y x va de -2 a 2. Es fácil ver ahora que las únicas soluciones son$x=\pm 2, y = \pm 1.$

Answer 4

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Factorización de$x^4-y^4=15\implies (x^2-y^2)(x^2+y^2)=15$ o$15=1.15$. Por lo tanto, la factorización es$3.5$ que implica$1$,$(x^2-y^2)=1\implies (x+y)=1$ y$(x-y)=1$ #% Y$0,1$ que da$(x^2+y^2)\neq15$ y$3.5$ y$(x^2+y^2)=5$.