¿Cómo probar esto$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x^n}dx=0$

Question

Muestra que$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin{x^n}dx=0$ $

Tengo que ver este problema similar$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sin^n{x}dx=0$ $ poof:$\forall \xi>0,0<\delta<\xi/2$, y hay$N$, como$0<\sin^n{\pi/2-\delta}<\xi/\pi(n\ge N)$ $ Y$$\int_{0}^{\pi/2}\sin^n{x}dx=\left(\int_{0}^{\pi/2-\delta}+\int_{\pi/2-\delta}^{\pi/2}\right)\sin^n{x}dx=I_{1}+I_{2}$ $ y Este problema tiene muchos otros métodos,

Pero para esto$$|I_{1}|\le\left(\sin{\pi/2-\delta}\right)^n(\pi/2-\delta)<\xi/\pi\cdot\pi/2=\xi/2$ $ No puedo probarlo, Gracias

Answer 1

Uno tiene$$J_n:=\int_0^{\pi/2}\sin(x^n)\ dx={1\over n}\int_0^{(\pi/2)^n}\sin u\>{du\over u^{1-{1/n}}}\qquad(n\geq2)\ .$ $ Mirando la gráfica del integrando (los golpes alternos se vuelven cada vez más pequeños, como en una serie alternada) se puede ver que$$0\leq\int_0^{(\pi/2)^n}\sin u\>{du\over u^{1-{1/n}}}\leq \int_0^\pi\sin u\>{du\over u^{1-{1/n}}}\leq\int_0^\pi u^{1/n}\ du={n\over n+1}\pi^{1+{1\over n}}\qquad(n\geq2)\ .$ $ As$\lim_{n\to\infty}\pi^{1+{1\over n}}=\pi$ % #%.

Answer 2

La integral de 0 a 1 desaparecerá. Entonces usted tiene un montón de integrales de$[2k\pi]^{1/n}$ a$[2(k+1)\pi]^{1/n}$. Si puede demostrar que cada una de estas integrales se vuelve muy pequeña como una función de$k$ y$n$, debido a la casi cancelación, entonces podría ser capaz de sumar todo$k$ y Todavía obtiene una suma, en función de$n$, que se aproxima a 0.