Interpretación física del teorema de Parseval

Question

He leído que el teorema de Parseval, que relaciona la norma de una función $f$ y la norma de su transformada de Fourier $g(k)$ :

\begin{equation} \int |f(x)|^2 dx=\int|g(k)|^2 dk \end{equation}

tiene la simple interpretación física de la "conservación de la energía". No veo esto, ¿me puedes sugerir una manera de pensar en ello?

Answer 1

Piensa en un vector $\mathbf{V}$ . Como se ve en un sistema de coordenadas $S$ con vectores base $\hat{e}_i$ se puede escribir $$\mathbf{V} = \sum_i V_i \hat{e}_i$$ donde $V_i$ son los componentes de $\mathbf{V}$ en $S$ . Visto desde otro sistema de coordenadas $S'$ con vectores base $\hat{e}_i'$ tiene una representación $$\mathbf{V} = \sum_i V_i' \hat{e}_i'.$$ Obviamente, la longitud del vector es independiente del sistema de coordenadas utilizado para representarlo. En otras palabras, debemos tener $$\sum_i V_i^2 = \sum_i (V_i')^2$$

Siguiendo con esta analogía, para una función $f(x)$ se puede tener una representación del espacio de posición en $\delta$ -base de la función como $$f(x) = \int f(x') \delta(x-x') dx'$$ donde el "componente" de $f(x)$ a lo largo del "vector base" $\delta(x-x')$ es $f(x')$ y sumamos (integramos ya que $x$ es una variable continua) sobre todos los "ejes" posibles.

Se puede considerar la misma función en representación del espacio de Fourier como $$f(x) = \int g(k) e^{-i k x} dk$$ donde $e^{-ikx}$ son los "vectores base" y $g(k)$ son los "componentes" de $f(x)$ a lo largo de estos vectores base.

Entonces estará de acuerdo en que $$ \int |f(x)|^2 dx = \int |g(k)|^2 dk$$

Así pues, el teorema de Parseval no es más que el replanteamiento de la invariabilidad de la longitud de un "vector" independientemente de la representación utilizada.

• Si $|f(x)|^2$ es proporcional a la energía, entonces el teorema de Parseval es un enunciado de la conservación de la energía vista en el dominio del espacio real o del espacio de Fourier

• Si $f(x)$ es una función de onda mecánico-cuántica, $|f(x)|^2$ es proporcional a la densidad de probabilidad. El teorema de Parseval es entonces un enunciado de la conservación de la probabilidad vista en la representación posición-espacio o en la representación momento-espacio.

Ver también La identidad de Parseval

Answer 2

En resumen Energy in time domain is equal to energy in frequency domain.

EDIT: Piensa en f(x) como una señal, entonces el teorema de Parseval dice que la energía total de esta señal en el tiempo es igual a la energía de esta señal en las frecuencias.