Tales funciones de existir. Para mostrar esto, vamos a $g$ ser su favorito función continua $[0,1]\rightarrow [0,1]$ tal que $g(0)=g(1)=0$ $g(x)=1$ algunos $x$. También elige a tu favorito de la función $h:\mathbb Z \rightarrow\mathbb Z$ con la propiedad de que para cada $m\in \mathbb Z$ el conjunto $\{n\in\mathbb Z:h(n)=m\}$ es ilimitado arriba. Por último, elige a tu favorito de la función $i:\mathbb Z\rightarrow[0,1)$ tal que $\lim_{n\rightarrow\infty}i(n)=1$.
Ahora, definir una función $f$ como el siguiente, donde $n\in \mathbb N$$x\in [0,1)$:
$$f(n+x)=h(n)+i(n)g(x).$$
La parte fraccionaria de que esto es sólo $i(n)g(x)$, lo cual es obviamente continua en la no-enteros y es continua en números enteros debido a $g(x)$ desaparece cerca de enteros. Este es surjective ya que si se escoge $y\in \mathbb R$ y escribo como $y=n+x$$x\in [0,1)$, entonces usted puede encontrar arbitrariamente grande, $m$ tal que $h(m)=n$. A continuación, sólo tienes que elegir un $m$ suficientemente grande como para que $i(m)>x$, en cuyo caso $f$ será necesariamente igual a $y$ en el rango $[m,m+1)$ por la continuidad de $f$ en este rango.
En caso de que su favorito funciones no tienen las propiedades deseadas, he aquí algunas posibles opciones para las funciones mencionadas:
$$g(x)=\begin{cases}2x&\text{if }x\leq 1/2 \\ 2-2x&\text{if }x\geq 1/2\end{cases}$$
Definir $h(n)$ por primera eligiendo $m^2$ ser el más cercano (entero) el cuadrado de $n$ y ajuste de $h(n)=n-m^2$.
Definir $i(n)=\frac{1}{1+e^{-n}}$.
