$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$
$\substack{\ds{\sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\bracks{{\beta\pars{n} \over n} -\ln\pars{n + 1 \over n}} = \ln\pars{\root{2 \over \pi}\,{2 \over \Gamma^{\,2}\pars{3/4}}}:\ {\large ?}.} \\[3mm] \ds{\beta:\texttt{Dirichlet Beta Function}.}}$
Vamos a \begin{equation} \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\bracks{{\beta\pars{n} \over n} -\ln\pars{n + 1 \over n}} = \mc{S}_{1} - \mc{S}_{2}\,,\quad \left\{\begin{array}{l} \ds{\mc{S}_{1} \equiv \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\,{\beta\pars{n} \over n}} \\[2mm] \ds{\mc{S}_{2} \equiv \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\,\ln\pars{n + 1 \over n}} \end{array}\right.\label{1}\tag{1} \end{equation}
$\ds{\Large\mc{S}_{1}:\ ?.}$ Con la $\ds{\beta}$ Representación integral : \begin{align} \mc{S}_{1} & \equiv \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\,{1 \over n}\ \overbrace{{1 \over \Gamma\pars{n}}\int_{0}^{\infty} {x^{n - 1}\expo{-x} \over 1 + \expo{-2x}}\,\dd x}^{\ds{\beta\pars{n}}}\ =\ -\int_{0}^{\infty} {\bracks{\sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-x}^{n}/n!}\expo{-x} \over 1 + \expo{-2x}}\,{\dd x \over x} \\[5mm] & = -\int_{0}^{\infty} {\pars{\expo{-x} - 1}\expo{-x} \over 1 + \expo{-2x}}\,{\dd x \over x} \,\,\,\stackrel{\exp\pars{-2x}\ \mapsto\ x}{=}\,\,\, -\int_{1}^{0}{x - x^{1/2} \over 1 + x}\,{\dd x/\pars{-2x} \over \ln\pars{x}/\pars{-2}} \\[5mm] & = \int_{0}^{1}{x^{-1/2} - 1 \over 1 - x^{2}}\,{x - 1 \over \ln\pars{x}}\,\dd x = \int_{0}^{1}{x^{-1/2} - 1 \over 1 - x^{2}}\ \overbrace{\int_{0}^{1}x^{t}\,\dd t}^{\ds{x - 1 \over \ln\pars{x}}}\ \,\dd x \\[5mm] & = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{x^{t - 1/2} - x^{t} \over 1 - x^{2}}\,\dd x\,\dd t \,\,\,\stackrel{x^{2}\ \mapsto\ x}{=}\,\,\, {1 \over 2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{x^{t/2 - 3/4} - x^{t/2 - 1/2} \over 1 - x}\,\dd x\,\dd t \\[5mm] & = {1 \over 2}\int_{0}^{1}\bracks{% \int_{0}^{1}{1 - x^{t/2 - 1/2} \over 1 - x}\,\dd x - \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{1 - x^{t/2 - 3/4} \over 1 - x}\,\dd x}\dd t \\[5mm] & = {1 \over 2}\int_{0}^{1} \bracks{\Psi\pars{{t \over 2} + {1 \over 2}} - \Psi\pars{{t \over 2} + {1 \over 4}}}\dd t \qquad\pars{~\Psi:\ Digamma\ Function~} \\[5mm] & = \left. \ln\pars{\Gamma\pars{t/2 + 1/2} \over \Gamma\pars{t/2 + 1/4}} \right\vert_{\ 0}^{\ 1} = \ln\pars{{\Gamma\pars{1} \over \Gamma\pars{3/4}}\,{\Gamma\pars{1/4} \over \Gamma\pars{1/2}}} \\[5mm] & = \ln\pars{{1 \over \Gamma^{\,2}\pars{3/4}}\,{\Gamma\pars{3/4}\Gamma\pars{1/4} \over \root{\pi}}}\quad \pars{~\substack{\mbox{Note that}\\[2mm] \ds{\Gamma\pars{1 \over 2} = \root{\pi}\,,\ \Gamma\pars{1} = 1}}~} \\[5mm] & = \ln\pars{{1 \over \Gamma^{\,2}\pars{3/4}\root{\pi}} \,{\pi \over \sin\pars{\pi/4}}}\qquad\pars{~Euler\ Reflection\ Formula~} \\[5mm] & \implies \bbx{\mc{S}_{1} \equiv \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\,{\beta\pars{n} \over n} = \ln\pars{\root{2\pi} \over \Gamma^{\,2}\pars{3/4}}}\label{2}\tag{2} \end{align}
$\ds{\Large\mc{S}_{2}:\ ?.}$ \begin{align} \mc{S}_{2} & \equiv \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\,\ln\pars{n + 1 \over n} = \sum_{n = 0}^{\infty}\pars{-1}^{n}\int_{0}^{1}{\dd t \over t + n + 1} = \int_{0}^{1}\sum_{n = 0}^{\infty}{\pars{-1}^{n} \over n + t + 1}\,\dd t \\[5mm] & = {1 \over 2}\int_{0}^{1}\sum_{n = 0}^{\infty} \bracks{{1 \over n + \pars{t + 1}/2} - {1 \over n + t/2 + 1}}\,\dd t \\[5mm] & = {1 \over 2}\int_{0}^{1}\bracks{% \Psi\pars{{t \over 2} + 1} - \Psi\pars{t + 1 \over 2}}\,\dd t = \left.\ln\pars{\Gamma\pars{t/2 + 1} \over \Gamma\pars{t/2 + 1/2}} \right\vert_{\ 0}^{\ 1} \\[5mm] & = \ln\pars{{\Gamma\pars{3/2} \over \Gamma\pars{1}}\,{\Gamma\pars{1/2} \over \Gamma\pars{1}}} = \ln\pars{{1 \over 2}\,\Gamma^{\,2}\pars{1 \over 2}} \qquad\pars{~\Gamma-Recursive Property~} \\[5mm] & \implies \bbx{\mc{S}_{2} \equiv \sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\,\ln\pars{n + 1 \over n} = \ln\pars{\pi \over 2}}\label{3}\tag{3} \end{align}
Con \eqref{1}, \eqref{2} y \eqref{3}: $$ \bbx{\sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n - 1}\bracks{{\beta\pars{n} \over n} -\ln\pars{n + 1 \over n}} = \ln\pars{\root{2 \over \pi}\,{2 \over \Gamma^{\,2}\pars{3/4}}}} $$
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¿Y por qué le importaría a alguien, sólo porque no es trivial, para no poder resolverlo? Si ese fuera un criterio, la mayoría de la gente trabajaría en la Hipótesis de Riemann, ahora. Entonces, ¿por qué esto? ¿Es necesario para algo importante en lo que estás trabajando, o sólo para el lolz?
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@ProfesorVector A veces es divertido trabajar en un problema difícil.
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@Will Fisher Concedido, pero no he visto cualquier trabajo del OP en ese problema.
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@ProfesorVector: es una tendencia común aquí en MSE. Las preguntas que implican integrales y series difíciles siempre se agradecen y nadie exige ningún trabajo a OP. La única razón de este comportamiento es que la mayoría de la gente aquí ama la resolución de estos problemas y están listos para cualquier pregunta que da la oportunidad de mostrar sus habilidades. El trabajo de OP se espera sobre todo para los problemas que no son demasiado difíciles.
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@Paramanand Singh ¿Quieres decir que todo el mundo que ha tenido la oportunidad de lucirse vota las preguntas, sin importar lo inútiles que sean? Eso explicaría mucho de lo que he visto en MSE, efectivamente.
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@ParamanandSingh Lo que describes puede ser la forma en que una subcolección de usuarios ha llegado a comportarse, pero este comportamiento no es ni general ni lo que el sitio recomienda.
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@Did: totalmente de acuerdo. Pero he visto este tipo de comportamiento sobre todo con problemas relacionados con integrales y series y eso es lo que intentaba decir. No trataba de defender ese comportamiento pero parece que mi comentario se ha interpretado de esa manera. En cuanto a mi propio caso, apenas tengo capacidad razonable para resolver integrales y series tan difíciles y simplemente intento ver soluciones para aprender algunas técnicas.
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@ProfesorVector : mis sentimientos en este asunto son similares a los tuyos pero quizás no he sido tan explícito como tú al expresarlos.
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Una pregunta para el OP: ¿cómo predijo la fórmula? Podrías añadirlo a tu pregunta.