Alguien me puede dar una sugerencia para este problema (para estudiantes de grado (8-9)): la prueba de que el producto de enteros positivos sucesivos 7 no es un cuadrado.
(He encontrado una prueba para el caso general se da en: aquí)
Respuesta
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jpvee
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Suponga que el producto $n\cdot(n+1)\cdot\ldots(n+6)$ es un número cuadrado $m^2$.
A continuación, se procede con los siguientes pasos:
Cada vez que uno de los factores es divisible por los números primos $p\geq7$, que prime debe ocurrir incluso con el poder en ese número.
La secuencia de $n,\ldots,n+6$ contiene una larga $u,u+2,u+4$ de los números impares.
Exactamente uno de $u,u+2,u+4$ es divisible por 3, y en la mayoría de los una de $u,u+2,u+4$ es divisible por 5.
-
Como consecuencia de (1), cada elemento de a $x$ $\{u,u+2,u+4\}$ es
- un cuadrado (en cuyo caso $x\equiv1\pmod8$),
- $3$ veces un cuadrado (en cuyo caso $x\equiv3\pmod8$),
- $5$ veces un cuadrado (en cuyo caso $x\equiv5\pmod8$), o
- $15$ veces un cuadrado (en cuyo caso $x\equiv7\pmod8$).
Como consecuencia de (2), la única posibilidad es $u=a^2$, $u+2=3b^3$ y $u+4=5c^2$.
Ahora $u+3$ ni es divisible por $3$ ni $5$, lo $u+3$ es el producto de una potencia de $2$ y una extraña cuadrado (por (1)).
Desde $u\equiv1\pmod8$,$u+3\equiv4\pmod8$, lo cual sólo puede ocurrir si $u+3$ es disivible por $4$, pero no por $8$.
(6) y (7) implica que $u+3$ es en sí mismo un cuadrado. Ya que tiene la distancia $3$$u=a^2$, esto implica que $u=1$ e lo $m^2 = 1\cdot\ldots\cdot7 = 5040$, una contradicción ya que el $5040$ no es un cuadrado.
