Prob. 6, Sec. 3.3, en el libro de análisis funcional de Kreyszig: Qué es $Y^\perp$ si $Y = \ldots \subset \ell^2$ ?

Question

Dejemos que $Y$ sea el subconjunto de $\ell^2$ dado por $$ Y \colon= \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2 \ \colon \ \xi_{2n} = 0 \ \mbox{ for all } \ n \in \mathbb{N} \ \right\}. $$ Entonces $Y$ es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert $\ell^2$ y así $Y$ también está completo. ¿Qué es $Y^\perp$ ?

He aquí la definición correspondiente:

Dejemos que $X$ sea un espacio de producto interno, y sea $M$ sea un subconjunto no vacío de $X$ . Entonces el complemento ortogonal $M^\perp$ de $M$ se define como sigue: $$ M \colon= \left\{ \ x \in X \ \colon \ \langle x, y \rangle = 0 \ \mbox{ for all } \ y \in M \ \right\}. $$

Mi esfuerzo:

Por definición, \begin{align} & Y^\perp \\ &= \left\{ \ x \in \ell^2 \ \colon \ \langle x, y \rangle = 0 \ \forall y \in Y \ \right\} \\ &= \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \left\langle \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} }, \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \right\rangle = 0 \ \forall \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in Y \ \right\} \\ &= \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \sum_{n = 1}^\infty \xi_n \overline{ \eta_n} = 0 \ \forall \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in Y \ \right\} \\ &= \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \sum_{n = 1}^\infty \xi_n \overline{ \eta_n} = 0 \ \forall \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \mbox{ such that } \ \eta_{2n} = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \ \right\} \\ &= \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \sum_{n = 1}^\infty \xi_{2n-1} \overline{ \eta_{2n-1} } = 0 \ \forall \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \mbox{ such that } \ \eta_{2n} = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \ \right\}. \end{align} Mi intuición es que $$Y^\perp = \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \xi_{2n-1} = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \ \right\}.$$

¿Es así? Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo se puede demostrar con rigor?

Otro enfoque:

Como $\ell^2$ es un espacio de Hilbert y como $Y$ es un subespacio cerrado de $\ell^2$ Así que $$ \ell^2 = Y \oplus Y^\perp, $$ por el teorema 3.3-4 del libro Análisis funcional introductorio con aplicaciones por Erwine Kreyszig.

Esto significa que cada $x \in \ell^2$ tiene una representación única $$ x = y+z, \ \mbox{ where } \ y \in Y \ \mbox{ and } \ z \in Y^\perp. $$

Ahora bien, si $x \colon= \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2$ entonces, por definición, la serie $\sum \left\lvert \xi_n \right\rvert^2$ de números reales no negativos converge en $\mathbb{R}$ .

Por lo tanto, la secuencia $$ \left( \sum_{j=1}^n \left\lvert \xi_j \right\rvert^2 \right)_{n \in \mathbb{N}} $$ de las sumas parciales de la serie $\sum \left\lvert \xi_n \right\rvert^2$ que también es monotónicamente creciente, es convergente. Por tanto, esta secuencia está acotada (desde arriba). Es decir, para cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos $$ \sum_{j=1}^n \left\lvert \xi_j \right\rvert^2 \leq \sum_{j=1}^{n+1} \left\lvert \xi_j \right\rvert^2, $$ y $\lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n \left\lvert \xi_j \right\rvert^2$ existe en $\mathbb{R}$ y
$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n \left\lvert \xi_j \right\rvert^2 = \sup \left\{ \ \sum_{j=1}^n \left\lvert \xi_j \right\rvert^2 \ \colon \ n \in \mathbb{N} \ \right\} < +\infty. $$

Ahora dejemos que $y \colon= \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} }$ sea la secuencia de números (reales o complejos) definida como sigue: Para cada $n \in \mathbb{N}$ , dejemos que $$ \eta_{2n-1} \colon= \xi_{2n-1} \ \mbox{ and } \eta_{2n} \colon= 0. $$ Entonces la secuencia $$ \left( \sum_{j=1}^n \left\lvert \eta_j \right\rvert^2 \right)_{n \in \mathbb{N} } $$ de las sumas parciales de la serie $\sum \left\lvert \eta_j \right\rvert^2$ viene dada por $$ \sum_{j=1}^{2n-1} \left\lvert \eta_j \right\rvert^2 = \sum_{j=1}^n \left\lvert \xi_{2j-1} \right\rvert^2, $$ y $$ \sum_{j=1}^{2n} \left\lvert \eta_j \right\rvert^2 = \sum_{j=1}^n \left\lvert \xi_{2j-1} \right\rvert^2 $$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Y, esta secuencia, al ser una secuencia de sumas de números reales no negativos, es también monotónicamente creciente y está limitada por encima de la suma de la serie convergente $ \sum \left\lvert \xi_n \right\rvert^2$ . Así que la secuencia $$ \left( \sum_{j=1}^n \left\lvert \eta_j \right\rvert^2 \right)_{n \in \mathbb{N} } $$ es convergente, lo que significa que la serie $ \sum \left\lvert \eta_j \right\rvert^2$ converge. Por lo tanto, $y \colon= \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} }$ está en $\ell^2$ . Por lo tanto, a partir de la definición de $Y$ podemos concluir que $y \in Y$ .

Ahora dejemos que $z \colon= \left( \zeta_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ sea la secuencia de números (reales o complejos) definida como sigue: Para cada $n \in \mathbb{N}$ , dejemos que $$ \zeta_{2n-1} \colon= 0 \ \mbox{ and } \ \zeta_{2n} \colon= \xi_{2n}. $$ Entonces $x = y+z$ y así $z = x-y \in \ell^2$ porque $\ell^2$ es cerrado bajo adición y multiplicación escalar.

Otra forma de demostrar que $z \colon= \left( \zeta_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$ está en $\ell^2$ es demostrar que la serie $\sum \left\lvert \zeta_n \right\rvert^2$ de números reales converge en $\mathbb{R}$ .

Ahora la secuencia $$ \left( \sum_{j=1}^n \left\lvert \zeta_j \right\rvert^2 \right)_{n \in \mathbb{N} }$$ de las sumas parciales de la serie $\sum \left\lvert \zeta_n \right\rvert^2$ viene dada por $$ \sum_{j=1}^{2n-1} \left\lvert \zeta_j \right\rvert^2 = \sum_{j=1}^{2n-2} \left\lvert \xi_{2j} \right\rvert^2, $$ y $$ \sum_{j=1}^{2n} \left\lvert \zeta_j \right\rvert^2 = \sum_{j=1}^{2n} \left\lvert \xi_{2j} \right\rvert^2 $$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Por tanto, esta secuencia, al ser una secuencia de sumas de números reales no negativos, es monotónicamente creciente y está acotada por encima de la suma de la serie $\sum \left\lvert \xi_n \right\rvert^2$ por lo que esta secuencia es convergente, lo que implica que $z \in \ell^2$ .

Así, $$ y = \left( \eta_1, \eta_2, \eta_3, \ldots \right) = \left( \xi_1, 0, \xi_3, 0, \xi_5, 0, \ldots \right), $$ y $$ z = \left( \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3, \ldots \right) = \left( 0, \xi_2, 0, \xi_4, 0, \xi_6, \ldots \right), $$ y así $$ \langle y, z \rangle = \sum_{n=1}^\infty \eta_n \overline{\zeta_n} = 0, $$ y así $\langle y, z \rangle = 0$ también. De hecho, también podemos demostrar que $\langle z, v \rangle = 0$ para todos $v \in Y$ . Así, $z \in Y^\perp$ .

Pero hasta ahora sólo he podido demostrar que el subespacio $$ Z = \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \xi_{2n-1} = 0 \ \forall \ n \in \mathbb{N} \ \right\}$$ está contenida en $Y^\perp$ .

¿Es lo que he hecho hasta ahora correcto, lógicamente sólido y suficientemente riguroso?

Si es así, ¿cómo completar los dos argumentos anteriores?

Si no es así, ¿dónde me falta?

P.D:

Para demostrar que $Y$ está efectivamente cerrado en $\ell^2$ Supongamos que $x \colon= \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} }$ es un elemento del cierre de $Y$ en $\ell^2$ . Entonces, por el Teorema 1.4-6 (a) de Kreyszig, existe una secuencia $\left(y_m \right)_{m \in \mathbb{N} }$ , donde $y_m \colon= \left( \eta_{mn} \right)_{n \in \mathbb{N} }$ para cada $m \in \mathbb{N}$ que convergen en $x$ en $\ell^2$ .

Para cada $m \in \mathbb{N}$ , como $y_m = \left( \eta_{mn} \right)_{n \in \mathbb{N} } \in Y$ , por lo que debemos tener $\eta_{m, 2n} = 0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ es decir, debemos tener $$ \eta_{m2} = \eta_{m4} = \eta_{m6} = \cdots = 0. $$

Ahora elijamos un número natural arbitrario $N$ . Demostramos que la secuencia $\left( \eta_{mN} \right)_{m \in \mathbb{N} }$ converge (en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ según el caso) al número $\xi_N$ .

Como la secuencia $\left(y_m \right)_{m \in \mathbb{N} }$ converge en $\ell^2$ al grano $x$ por lo que dado cualquier número real $\varepsilon > 0$ existe un número natural $M$ tal que $$ d_{\ell^2} \left( y_m, x \right) < \varepsilon $$ para todos $m \in \mathbb{N}$ tal que $m > M$ . Pero tenemos $x = \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} }$ y, para cada $m \in \mathbb{N}$ tenemos $y_m = \left( \eta_{m n} \right)_{n \in \mathbb{N} }$ . Así que podemos concluir que $$ \sqrt{ \sum_{n = 1}^\infty \left\lvert \eta_{m n} - \xi_n \right\rvert^2 } < \varepsilon $$ para todos $m \in \mathbb{N}$ tal que $m > M$ .

Y, así obtenemos $$ \left\lvert \eta_{mN} - \xi_N \right\rvert = \sqrt{ \left\lvert \eta_{mN} - \xi_N \right\rvert } \leq \sqrt{ \sum_{n = 1}^\infty \left\lvert \eta_{mn} - \xi_n \right\rvert^2 } < \varepsilon $$ para todos $m \in \mathbb{N}$ tal que $m > M$ . Por lo tanto, se deduce que la secuencia $\left( \eta_{m N} \right)_{m \in \mathbb{N} }$ converge a $\xi_N$ .

Ahora bien, como para cada $N \in \mathbb{N}$ tenemos $$ \xi_N = \lim_{m \to \infty} \eta_{m N}, $$ y como para cada $N \in \mathbb{N}$ tenemos $\eta_{m, 2N} = 0$ , por lo tanto debemos tener $$ \xi_{2N} = 0$$ para todos $N \in \mathbb{N}$ lo que demuestra que $x = \left( \xi_{n} \right)_{n \in \mathbb{N} }$ está en $Y$ .

Pero este $x$ era un elemento arbitrario del cierre de $Y$ en $\ell^2$ . Por lo tanto, se deduce que $\mbox{Cl}(Y) \subset Y \subset \mbox{Cl}(Y)$ . Por lo tanto, $Y$ está cerrado.

Answer 1

Es correcto, pero también lo hace más complicado de lo que tiene que ser. Usted quiere demostrar que $$ Z = \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \xi_{2n-1} = 0 \ \forall \ n \in \mathbb{N} \ \right\}$$ es $Y^\perp$ . Como usted escribió, está claro que $Z\subset Y^\perp$ . Por otro lado $Z^c\subset (Y^\perp)^c$ : toma cualquier $z\notin Z$ y tomar $n$ tal que $z_{2n-1}\neq0$ (que existe por definición). Considere $e(2n-1)$ el vector con todos los $0$ -s excepto en el $2n-1$ -ésima coordenada, donde es $1$ . Por supuesto $e(2n-1)\in Y$ y $\langle z,e(2n-1)\rangle=z_{2n-1}\neq0$ Así que $z\notin (Y^\perp)^c$ .

Answer 2

Su intuición es correcta. En efecto, deberíamos encontrar que $$ Y^\perp = \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \xi_{2n-1} = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \ \right\}. $$ Con el primer enfoque, ya ha demostrado que $$ Y^\perp = \left\{ \ x \in \ell^2 \ \colon \ \langle x, y \rangle = 0 \ \forall y \in Y \ \right\} \\= \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \sum_{n = 1}^\infty \xi_{2n-1} \overline{ \eta_{2n-1} } = 0 \ \forall \left( \eta_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \right\} $$ (nótese que como hemos reindexado la suma, no es necesario decir $\eta_{2n} = 0$ para todos $n$ ).

Ahora, dejemos que $S = \left\{ \ \left( \xi_n \right)_{n \in \mathbb{N} } \in \ell^2 \ \colon \ \xi_{2n-1} = 0 \ \forall n \in \mathbb{N} \ \right\}$ . Es fácil demostrar que $S \subset Y^\perp$ : si $\xi_{2n-1} = 0$ para todos $n$ entonces $\sum_{n = 1}^\infty \xi_{2n-1} \overline{ \eta_{2n-1} } = 0$ para cualquier $(\eta_n)$ .

Para demostrar que $Y^\perp \subset S$ , tome cualquier $(\xi_n) \in Y^\perp$ . definir $\eta_n$ $$ \eta_n = \begin{cases} \xi_n & n \text{ is even}\\ 0 & n \text{ is odd} \end{cases} $$ Entonces tenemos $$ \langle (\xi_n),(\eta_n) \rangle = 0 \implies\\ \sum_{n=1}^\infty |\xi_n|^2 = 0 \implies (\xi_n) \in S $$ como se desee.

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Sin embargo, puede que te resulte más fácil hacer el problema mostrando primero que el conjunto $$ \{e_{2n} : n \in \Bbb N\} $$ (como en la sección 2.3) forma un Base de Schauder para el espacio $Y$ .