La suma de enteros consecutivos es $50$ . ¿Cuántos números enteros hay?

Question

Empecé llamando a los números de mi lista " $n$ ". Como los enteros son consecutivos, tuve $x + (x+1) + (x+2)...$ y así sucesivamente. Y como había " $n$ " en mi lista, el último número entero tenía que ser $(x+n)$ . Aquí es donde me quedé atascado. No sabía cómo proceder porque no se me da el punto inicial de mis enteros, ni un punto final.

Answer 1

Si su $n$ es impar, entonces el número central tiene que ser $50/n$ . Los divisores impar de $50$ son $1$ y $5$ lo que nos da dos soluciones $50=50$ y $8+9+10+11+12=50$

Si $n$ es par, entonces $50/n$ es el medio entero entre los dos números del medio. Así que $n$ tiene que ser un divisor par de $100$ pero no un divisor de $50$ Así que $n=4$ o $20$ .

Si $n=4$ entonces $50/4 = 12.5$ y obtenemos $11+12+13+14=50.$

Si $n=20$ . entonces $50/20 = 2.5$ y obtenemos $-7+-6+-5+\cdots +11+12 = 50.$

Así que hay 4 respuestas: $n=1, 4, 5, $ y $20$ .

Edición: Como señala Bill, se me escaparon los divisores $25$ y $100$ que dan dos respuestas más: $50 = -10+-11+\cdots+14$ y $50 = -49 +-48+\cdots +50$ .

Obsérvese que cada solución con enteros negativos está relacionada con una solución con enteros positivos. A partir de la solución $11+12+13+14=50$ Sólo hay que añadir los términos $-10, -9, \ldots, 10$ que se suman a $0$ y tenemos otra solución.

Answer 2

Lo que puede ser útil es utilizar la fórmula de la suma de una progresión aritmética: si se tiene una secuencia cuyo primer término es $a$ y cada término es $d$ más que el resto, entonces la suma del primer $n$ términos es $na+\frac{n(n-1)}{2}d$ . En este caso, ya que estamos viendo enteros consecutivos, $d=1$ y por lo tanto usted está tratando de encontrar $a$ y $n$ tal que $na+\frac{n(n-1)}2=50$ o, por el contrario $n(2a+n-1)=100$ .

Answer 3

$$\scriptsize\begin{align} 50 &=2\times 25 &&=25\boxed{+}25 &&=24.5\boxed{+}25.5 \text{ (AP but not integer AP)}\\ &=4\times 12.5 &&=12.5+12.5\boxed{+}12.5+12.5 &&=\color{red}{11+12\boxed{+}13+14}\\ &=5\times 10 &&=10+10+\boxed{10}+10+10 &&=\color{red}{8+9+\boxed{10}+11+12}\\ &=10\times 5 &&=\underbrace{\underbrace{5+5+\cdots+5}_{5}\boxed{+}\underbrace{5+5+\cdots +5}_{5} }_{10} &&=\underbrace{\underbrace{0.5+1.5+\cdots+4.5}_{25}\boxed{+}\underbrace{5.5+\cdots+9.5}_{25}}_{50}\\ & && && \quad \text{(AP but not integer AP)}\\ &=20\times 2.5 &&=\underbrace{\underbrace{2.5+2.5+\cdots+2.5}_{10}\boxed{+}\underbrace{2.5+\cdots +2.5}_{10} }_{20} &&=\color{red}{\underbrace{\underbrace{-7+(-6)+\cdots+2}_{10}\boxed{+}\underbrace{3+4+\cdots+12}_{10}}_{20}}\\ &=25\times 2 &&=\underbrace{\underbrace{2+2+\cdots+2}_{12}+\boxed{2}+\underbrace{2+\cdots +2}_{12} }_{25} &&=\color{red}{\underbrace{\underbrace{-10+(-9)+\cdots+1}_{12}+\boxed{2}+\underbrace{3+\cdots+13+14}_{12}}_{25}}\\ &=50\times 1 &&=\underbrace{\underbrace{1+1+\cdots+1}_{25}\boxed{+}\underbrace{1+\cdots +1}_{25} }_{50} &&=\underbrace{\underbrace{-23.5+(-22.5)+\cdots+0.5}_{25}\boxed{+}\underbrace{1.5+\cdots+25.5}_{25}}_{50}\\ & && && \quad \text{(AP but not integer AP)}\\ &=100\times 0.5 &&=\underbrace{0.5+0.5+\cdots+0.5}_{50}\boxed{+}\underbrace{0.5+0.5+\cdots+0.5}_{50} &&=\color{red}{\underbrace{\underbrace{-49+(-48)+\cdots+0}_{50}\boxed{+}\underbrace{1+2+\cdots +49+50}_{50} }_{100}} \end{align}$$

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Con más detalle:

$$\frac {50}n=m$$ Si $n$ es incluso $(n=2p)$ , entonces queremos $m=a+0.5 \;\;(a\in \mathbb Z)$ $\cdots$ Condición $(1)$

• El PA estaría compuesto por $p$ enteros consecutivos a ambos lados de $m$ .

Si $n$ es impar $(n=2p+1)$ , entonces queremos $m\in \mathbb Z$ $\cdots$ Condición $(2)$

• El PA estaría compuesto por $p$ enteros consecutivos a ambos lados de $m$ así como $m$ sí mismo.

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Pruebe diferentes valores de $n$ (excluyendo el caso trivial $n=1$ ):

• Si $n=2$ entonces $m=25$ por lo que la condición ( $1$ ) no está satisfecho.

• Si $n=3$ entonces $m=16\frac 23$ por lo que la condición ( $2$ ) no está satisfecho.

• Si $n=4$ entonces $m=12.5$ Por lo tanto, la condición $(1)$ satisfecho, por lo que el PA es $\lbrace (m-1.5), (m-0.5), (m+0.5), (m+1.5)\rbrace$ es decir $\color{red}{11,12,13,14}$ ( $AP1$ ).
  Sumando los términos negativos y los correspondientes positivos que se anulan se obtiene: $\color{blue}{-10,-9,-8\cdots, 0\cdots, 8,9,10,}\color{red}{11,12,13,14}$ ( $AP 1'$ )

• Si $n=5$ entonces $m=10 $ Por lo tanto, la condición $(2)$ satisfecho, por lo que el PA es $\lbrace (m-2),(m-1),m,(m+1),(m+2)\rbrace$ es decir $\color{red}{ 8,9,10,11,12}$ ( $AP 2$ ).
  Sumando los términos negativos y los correspondientes positivos que se anulan se obtiene: $\color{blue}{-7,-6,-5\cdots, 0\cdots, 5,6,7,}\color{red}{8,9,10,11,12}$ ( $AP 2'$ )

• Si $n=6, 7,8,9$ entonces $m\notin\mathbb Z$ y $m\neq a+0.5 $ por lo tanto, tampoco Condiciones $(1)$ o $(2)$ satisfecho.

• Si $n=10$ entonces $m=5$ Por lo tanto, la condición $(2)$ no está satisfecho - no es posible.

• Si $n=11,12,\cdots, 24$ entonces $m\notin\mathbb Z$ y $m\neq a+0.5$ por lo tanto, tampoco Condiciones $(1)$ o $(2)$ satisfecho.

• Si $n=25$ entonces $m=2$ Por lo tanto, la condición $(2)$ satisfecho, por lo que AP es $\color{red}{\underbrace{-10,-9,\cdots 0,1}_{12\text{ terms}},2,\underbrace{3,\cdots 9,10,11,12,13,14}_{12 \text{ terms}}}$ (igual que $AP 1'$ )

• Si $n=26,27,\cdots, 49$ entonces $m\notin\mathbb Z$ y $m\neq a+0.5 $ por lo tanto, tampoco Condiciones $(1)$ o $(2)$ satisfecho.

• Si $n=100$ entonces $m=0.5$ Por lo tanto, la condición $(1)$ satisfecho, por lo que AP es $\color{red}{\underbrace{-49,-48,\cdots -2,-1,0}_{50\text{ terms}},\underbrace{1,2,3,\cdots 48,49,50}_{50 \text{ terms}}}$ ( $AP 3$ )

• Para valores más altos de $n$ , $0<m<0.5$ - no es posible.

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Answer 4

Sin leer otras respuestas... esto debería decirte cómo piensa un viejo programador informático, frente a un verdadero matemático.

En primer lugar, la respuesta obvia es el único número entero 50. Sin embargo, si se permiten los números negativos, entonces podemos recoger la secuencia de -49 a 50 para 100 números consecutivos. Esta es la secuencia más larga posible.

Si n es el número inicial de una secuencia y s es el número de números consecutivos, entonces terminamos con

50 = (n+0) + (n+1) + (n+2) +... + (n+s-1)
50 = ns + (s-1)(s)/2

Esto es útil, tal vez, como ns prácticamente pone una caja alrededor del conjunto de soluciones. Como conocemos la naturaleza del término más a la derecha, podemos decir que s es de 10 o menos.

Consideremos la transformación si multiplicamos ambos lados por 2/s :

100/s = 2n + s - 1

El lado derecho siempre será un número entero. Por lo tanto, s debe dividir siempre 100 en forma pareja. De lo anterior sabemos que s está entre 1 y 10, por lo que los únicos valores posibles para s son 1, 2, 4, 5 y 10.

Esto reduce el problema a 5 ecuaciones de un solo grado de libertad. Hagámoslo.

100/1 = 2n, n = 50, seq is (50)
100/2 = 2n + 1, no solution
100/4 = 2n + 4 - 1, 25-3 = 2n, n = 11, seq is (11, 12, 13, 14)
100/5 = 2n + 5 - 1, 20 = 2n + 4, 16=2n, n = 8, seq is (8, 9, 10, 11, 12)
100/10 = 2n + 10 - 1, 10 = 2n +9, 1 = 2n, no solution

Así que esas son todas las soluciones en las que n y s ambos > 0.

Answer 5

La suma de números consecutivos $1\dots n$ hasta $n$ a partir de 1 es $\frac{n(n+1)}{2}$ . Ya que sólo quieres una suma parcial de, por ejemplo, $m+1$ a $n$ , puedes simplemente restar para obtener la suma parcial:

$$ \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m+1)}{2} = \frac{n^2+n-m^2-m}{2} = 50 $$

Multiplicando por 2 se obtiene

$$ 100 = n^2+n-m^2-m = (n+m)(n-m) + n-m = (n+m+1)(n-m) $$

Ahora el truco: $n+m$ y $n-m$ son ambos pares o ambos Impares. Esto significa que en la última fórmula, un término debe estar a mano, el otro debe sea impar. Factorización de $100 = 5\cdot 5 \cdot 2 \cdot 2$ significa que hay soluciones muy limitadas. Por ejemplo, un término es 25, el otro es 4 (hay otra combinación no trivial, véase más adelante). Como $n+m+1$ es mayor que $n-m$ , en la opción mostrada aquí, debe tener \begin{align} n+m+1 &= 25\\ n-m &=4 \end{align} Resolviendo esto obtendrás los números deseados.

Apéndice Se obtiene la combinación observando que se obtienen todas las combinaciones aceptables de la factorización vía: \begin{align} 100 &= 1\cdot (5\cdot5\cdot2\cdot2)\\ &= 5\cdot (5\cdot2\cdot2)\\ &= (5\cdot 5)\cdot(2\cdot2) \end{align} donde hay que parar ya que todas las siguientes factorizaciones contendrán sólo factores pares.