Supongamos que lleno un vaso con agua helada. Al derretirse, el hielo enfría el agua que lo rodea. Dado que el frío agua es más densa que el agua caliente, yo supondría que el agua fría se hundiría hasta el fondo... pero se calentaría al hundirse, reduciendo la densidad. Mientras tanto, el hielo sigue derritiéndose y cediendo su frío al agua circundante.
Así que...
Nota: La pista es que debes considerar el caso especial $\lVert x\rVert_p = 1$ para demostrar que en ese caso, usted tiene $$\lVert x\rVert_q \leq \lVert x\rVert_p,$$ ignorando la segunda desigualdad; y entonces , por separado, que considere el caso $\lVert x\rVert_q=1$ para demostrar que en ese caso $$\lVert x\rVert_p \leq n^{1/p}\lVert x\rVert_q,$$ ignorando la primera desigualdad
Primero: ¿Cómo se demuestran estos casos especiales?
Supongamos primero que $\lVert x\rVert_p = 1$ para que $$\sum_{j=1}^n|x_i|^p = 1.$$ Esto significa que $0\leq |x_i|\leq 1$ para todos $i$ y como $q\gt p$ entonces $$0\leq |x_i|\leq 1\Rightarrow 0\leq |x_i|^q \leq |x_i|^p \leq 1.$$ Por lo tanto, $\sum |x_i|^q \leq \sum |x_i|^p =1$ y tomando $q$ a las raíces se concluye que $\lVert x \rVert_q \leq 1 = \lVert x\rVert_p$ .
Intenta algo parecido para la segunda desigualdad, partiendo de la suposición de que $\lVert x \rVert_q =1$ .
Segundo: ¿cómo se extiende el caso especial al caso general?
Dada una situación arbitraria $x\neq \mathbf{0}$ , dejemos que $\lambda=\frac{1}{\lVert x\rVert_p}$ . Si ya conoce la desigualdad cuando el $p$ -La norma es $1$ Entonces, usted sabe que $$\lVert \lambda x \rVert_q \leq \lVert \lambda x \rVert_p,$$ desde el $p$ -norma de $\lambda x$ es $1$ . Pero como $\lambda$ es un escalar positivo, esto es equivalente a $$\lambda\lVert x \rVert _q \leq \lambda \lVert x\rVert_p,$$ y cancelar $\lambda$ da la desigualdad deseada para un $x\neq\mathbf{0}$ .
Un truco similar funciona para la segunda desigualdad. Y, por supuesto, la desigualdad se mantiene trivialmente si $x=\mathbf{0}$ .
La convección para producir la uniformidad depende de una serie de factores nebulosos:
La idea es la siguiente. Los lagos no se congelan en invierno. Sin agitación, el agua del lago forma capas que se mezclan muy, muy lentamente. Así que el hielo congelado flota en la parte superior del lago.
Por lo tanto, sin agitar, el agua en el labio es probable que esté más fría que el líquido en el fondo del vaso.
EDIT - Este es un experimento que puedes hacer fácilmente en casa. Llena un vaso grande y transparente (un vaso de verdad...) unos 2/3 de su capacidad con agua del grifo y añade colorante alimentario removiendo para que el líquido sea bastante oscuro. A continuación, añade suficiente hielo para llenar el vaso sin remover. Deja el vaso sobre una mesa sólida hasta que el hielo se derrita. (Bonito experimento para realizar de la noche a la mañana....) Como el agua se ha estratificado, la capa de agua de la parte superior tendrá un color notablemente más claro que la de la parte inferior.
El calor fluye por radiación, conducción y convección. En primer lugar, tengo que objetar el término "agua helada". El agua helada puede o no contener hielo. Lo que implica claramente es que el agua está a 0°C. Consideremos un sistema en el que el flujo de aire es mínimo (por tanto, la conducción aire-agua es mínima). Considere un sistema en el que el agua (aquí agua = agua líquida) está a 0°. El hielo se crea normalmente entre -15°F y +25°F, dependiendo del congelador. En todos los casos, está por debajo de los 0°C (obviamente). Ahora bien, ¿qué sucede en un caso ideal cuando pongo un "pedacito" de hielo en el agua a 0°C? Sí, el agua se congela por completo. Ahora bien, como el mundo real no es continuo, esto no sucederá realmente y es posible construir un sistema en el que el agua y el hielo estén en equilibrio a 0°C, pero definitivamente no es "fácil". Menciono lo anterior para mostrarte que no has especificado adecuadamente tu sistema. Las masas y temperaturas del agua y del hielo materia . Al igual que la temperatura del aire, la temperatura del contenedor y la temperatura del banco/mesa. Con un recipiente suficientemente aislante, aún tienes que preocuparte del flujo de masa (corrientes) que le has dado al agua al verterla. (Estas corrientes pueden tardar horas y posiblemente días en disiparse por completo, incluso en condiciones casi isotérmicas). Y, por supuesto, la forma de los trozos de hielo importa. Consideremos un tubo capilar (perfectamente aislante) y una bandeja poco profunda con la misma capacidad de volumen total. El flujo de masa y el flujo térmico serán muy diferentes. Los cálculos hidrodinámicos pueden ser (y casi siempre lo son) enormemente difíciles. El agua no puede estar más fría que 0° (sin tener en cuenta el superenfriamiento). Está claro que eso debe ocurrir en contacto con el hielo. Pero considere un vaso cilíndrico de 10 cm de diámetro (i.d.) ¿Cree que la respuesta sería diferente si colocara un vaso de 1 cm 3 ¿un cubito de hielo en 1 L de agua en ese vaso o si coloco un disco de 1 cm de grosor con un diámetro (d.e.) de 9,9 cm en el vaso? Sí, un sistema poco especificado, a lo grande. Otra pieza obvia que falta es lo que entiendes por temperatura. No en el sentido de que no sea una propiedad bien definida (¡macroscópica!), sino en el sentido de que (probablemente) estás pensando en la temperatura media sobre algún volumen. Como he dicho, el agua más fría se encontrará "en contacto" con el hielo, pero esto no significa que toda la superficie sea de media más fría que la parte inferior de 0,1 cm en la taza, ya que obviamente depende de cosas que no has especificado. Imagina, como última "llave inglesa" en el intento de responder a esto, que el vaso contiene un inserto y que ese inserto metálico ha sido enfriado a -200°C. Se vierte el agua a 0°C, junto con alguna cantidad no especificada de hielo y se obtiene cierta congelación del agua en toda la superficie interior del vaso. Ahora bien, aunque incluyamos este hielo cuando especifiquemos el volumen y la temperatura del hielo, ¿realmente crees que este hielo tendría el mismo efecto que los cubos flotantes? O considere un anillo de hielo en lugar de un disco, y ¿qué pasa con la rugosidad de la superficie del revestimiento del vaso?
Cuando la temperatura baja, la energía cinética disminuye, el volumen se reduce y la densidad aumenta. Por lo tanto, el sólido se hunde y el líquido está arriba.
Está relacionado con el agua pero sólo hasta los 4°C . Cuando hay agua a 10°C, la temperatura del agua baja a 9°C ,el agua a 9°C bajará por la mayor densidad.
Pero cuando tomamos 4°C la temperatura del agua baja a 3°C. Es diferente. Sabes que hay enlaces de hidrógeno entre cada molécula de H2O. La forma de la molécula de H2O está "doblada". Los dos átomos de hidrógeno pueden hacer dos enlaces de hidrógeno con dos átomos de oxígeno, y dos pares de electrones solitarios del átomo de oxígeno hacen 2 enlaces de hidrógeno con los 2 hidrógenos de otra molécula.Entonces puede tener una forma tetraédrica. Sabes que el sólido tiene una estructura regular. El agua (líquida) no tiene una forma regular, hay moléculas y enlaces de hidrógeno por todas partes de forma irregular. Cuando la temperatura baja de 4°C a la forma regular, las moléculas tetraédricas de H2O intentan aumentar la distancia y llegar a una forma regular. Entonces, el volumen aumenta y la densidad disminuye. Entonces, después de 4°C a temperaturas bajas (3,2,1,0,-1) el (agua) flota en la parte superior.
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Hm, pero el hielo está cerca de la cima... ¿el agua que lo rodea inmediatamente no debería estar más fría que el agua más lejana? El agua fría no es plomo, tarda en hundirse...