Necesito tu recogidos capacidad intelectual para que me ayude. Esto va a ser largo, así que coge su bebida favorita y merienda. Estoy trabajando a través de Görtz y Wedhorn la "Geometría Algebraica I" y actualmente estoy en el capítulo 6, más específicamente en el espacio de la tangente definición. Así que ellos están dando la "costumbre" de la definición del espacio de la tangente de un esquema de $X$ a un punto de $x$ por
$$ T_xX:=(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*. $$
Ahora vamos a $f:X\to Y$ ser una de morfismos de esquemas, que tenemos un mapa de $f_x^\sharp:\mathcal{O}_{Y,f(x)}\to \mathcal{O}_{X,x}$, lo que induce a una de las $k(x)$-lineal mapa de $\mathfrak{m}_{f(x)}/\mathfrak{m}_{f(x)}^2\otimes_{k(f(x))}k(x) \to \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$. Dualizing este mapa nos da un mapa de la tangente espacios que se denota:
$$ df:T_xX \to T_{f(x)}Y\otimes_{k(f(x))}k(x). $$
Para aquellos de ustedes que tienen el libro en frente de usted: ahora estoy particularmente interesado en el Ejemplo 6.4 y hay sobre todo la segunda parte que es de la siguiente manera: Vamos a $\mathbb{A}^n_k$ ser afín espacio en un campo de $k$. Aquí, los autores no hacen ninguna restricción en el campo. Esto va a ser importante para mi pregunta.
Ahora vamos a $f:\mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^r$ ser un mapa dada por los polinomios de $f_1,\ldots,f_r \in k[T_1,\ldots,T_n]$ y deje $x\in \mathbb{A}^n_k(k)$ ser un punto racional. A continuación, el mapa de $df_x$ está dado por la verificación Jacobiana:
$$ \left( \dfrac{\partial f_i}{\partial T_j} \right)_{i,j}. $$
Aquí está mi intento de confirmar esto: primero de todo, creo que los autores secreto asumir que $k$ es algebraicly cerrado debido a que asumen que $x=(x_1,\ldots,x_n)$ y el asociado ideal maximal es $(T_1-x_1,\ldots,T_n-x_n)$. Supongamos ahora que este y mira cómo los mapas de trabajo. La inducida por el mapa en las coordenadas de los anillos es
\begin{eqnarray} f^\sharp:k[Y_1,\ldots,Y_r] &\to & k[T_1,\ldots,T_n]\\ g &\mapsto & g(f_1,\ldots,f_r), \end{eqnarray} (Espero que la notación es claro). Ahora vamos a los tallos es simplemente localizar en los respectivos máximos ideales que se $(T_1-x_1,\ldots,T_n-x_n)=:\mathfrak{m}_x$ $(Y_1-b_1,\ldots,Y_r-b_r)=:\mathfrak{m}_{f(x)}$ donde $b=f(x)$. Voy abuso de notación, un poco aquí, por lo $\mathfrak{m}_x,\mathfrak{m}_{f(x)}$ también denotan la máxima ideales en el tallo. Creo que este es justificada, ya que ellos son los máximos ideales de la virtud de la inyección que se administra por la localización.
Ahora la inducida por el mapa en el tallo nivel no tiene un aspecto diferente en el mapa, las coordenadas de los anillos y ya que estamos particularmente interesados en cómo los mapas de trabajo en la máxima ideales que comprobar esto para los generadores de $\mathfrak{m}_{f(x)}$. Podemos entender que el mapa no funciona de la siguiente manera:
\begin{eqnarray} f^\sharp_x:\mathfrak{m}_{f(x)}&\to &\mathfrak{m}_{x}\\ Y_i-f_i(x) &\mapsto & f_i-f_i(x) \end{eqnarray}
Ahora viene la parte interesante y a mi pregunta. Para describir el mapa voy a utilizar el de Taylor-polinomio de $f_i$ que es:
\begin{eqnarray} T_nf_i(x,T)&=&f_i(x)+\langle (gradf_{i})_x,(T-x)\rangle+\mathfrak{m}_x^2 \\ &=&f_i(x)+\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial T_i}(x)(T_i-x_i)+\mathfrak{m}_x^2 . \end{eqnarray} Ahora viene la parte que más me molesta: el Uso de ese $f_i(T)=T_nf_i(x,T)$ lo $f_i-f_i(x)=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial T_i}(x)(T_i-x_i)+\mathfrak{m}_x^2 $ y así, pasando el cociente $\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ puedo ver cómo el mapa de obras y darse cuenta de que el mapa de $df$ es de hecho la matriz Jacobiana.
Así que aquí está mi pregunta: Mi argumento se basa en la identidad
$$ f_i(T)=T_nf_i(x,T) $$
para algunos lo suficientemente grande como $n$. Sé que esto es cierto para $k=\mathbb{C}$ (y por lo tanto para cualquier subcampo) pero ¿por qué debería ser cierto para cualquier otro campo? En particular, usted tiene que ser muy cuidadosamente, incluso en la definición de este en positivo característico. ¿Alguien sabe acerca de esto?
O, alternativamente: hay otro argumento para ver que $df$ está dado por el Jacobiano que no implica la expansión de Taylor?
