¿Cuántas formas hay de representar el número $N$ ?

Question

Me dieron una tarea que no requiere ningún conocimiento especial de matemáticas, pero me quedé atascado en ella. Aquí está:

1. ¿Cuántas formas hay de representar el número $N$ en el de la siguiente manera: $$ N = a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot10 +a_0 \ \ \ (1)$$ $$ a \in \mathbb {Z_{ \geq0 }}, \ \ \ \ 0 \leq a_i \leq99 , \ \ i=0;1;2;3$$ para $N=1091$ ?

2. Hacer 10 números diferentes $N$ que son representables exactamente de 110 maneras como en el $(1)$ ¿Existe?

3. ¿Cuántos números $N$ que son representables como en el $(1)$ son representables exactamente de 110 maneras?

He escrito un programa y he descubierto que la respuesta a la primera pregunta es 110. Pero no tengo más ideas, desafortunadamente.

¡Cualquier idea o sugerencia que lleve a una solución analítica es muy apreciada!

Answer 1

Sugerencia : escriba cada $a_i$ como $10b_i+c_i$ con $b_i,c_i\in \{0,1,...,9\}$ (y utilizar la unicidad de la representación decimal).

Elaboración: si lo escribes así, puedes hacer el siguiente análisis para $N=10^4d_4+10^3d_3+10^2d_2+10d_1+d_0$ .

1. Escribe $N=10^4b_3+10^3(c_3+b_2)+10^2(c_2+b_1)+10(c_1+b_0)+c_0$ .
2. Tenga en cuenta que es posible que tenga remanentes de $10$ a $10^2$ , de $10^2$ a $10^3$ y de $10^3$ a $10^4$ .
3. Hay exactamente $(d_1+1)(d_2+1)(d_3+1)$ formas de representar $N$ sin remanentes.
4. Con un remanente de $10$ a $10^2$ (y ninguna otra prórroga), hay $(9-d_1)(d_2)(d_3+1)$ formas.
5. Y así sucesivamente.

Para $1091$ El único traspaso que puede producirse es el de $10^2$ a $10^3$ . Así que tenemos en total $10\cdot 1\cdot 2+10\cdot9\cdot1=110$ formas.

No creo que haya una forma más inteligente de calcular el segundo y el tercer punto que escribir un programa o escribir la fórmula detrás de "Y así sucesivamente" y hacer algunas estimaciones más o menos aproximadas.

Answer 2

Para la primera parte creo que podemos trabajar analíticamente...

A3 sólo puede ser 1 o 0.

Caso 1: a3 es 1

Si a3 es 1, entonces necesariamente a2 es 0 lo que deja 10a1+a0=91. A1 puede ser cualquier cosa de 0 a 9 lo que deja a0 para ser de 91,81,71.....21,11,1

10 resultados posibles.

Caso 2:a3 es 0

Si a3 es 0, a2 puede ser cualquier cosa entre 1 y 10. No puede ser 0. Y si lo calculas,( por supuesto manteniendo a1 constante y luego comprobando a0) si mantienes a2 digamos 1, entonces 10a1+a0=991. Ahora a0 nunca puede exceder de 99, o en realidad 91, por lo que a1 nunca puede ser menor que 90. Del mismo modo, si trabajas para el resto (en realidad lo descubrirás sólo en la mitad del cálculo), todos y cada uno de los casos del 1 al 10 tendrán 10 casos cada uno. (primero piensa y lee con paciencia y visualízalo y luego procede). Así que no. De casos aquí son 100.

Así que no total. De casos son 110.

Creo que para la segunda parte, la respuesta podría estar en mi método anterior.

Si aquí asumí 10 casos para a1 y a0, sólo es posible si 10a1 +a0 era un número de dos dígitos (100 casos aquí solamente). Básicamente quiero decir que si n es de dos dígitos hay 100 casos que sólo incluyen a1 y a0 entre 0 y 99 y a3 y a2 0.

Por lo tanto, si N es mayor que cualquier número de dos dígitos, el número de casos debe ser superior a 100.

Así que si el número es sólo 1092, creo que probablemente tendría el mismo número de casos. Procediendo sólo así, se puede decir fácilmente 10 nos. así. (1090,1091....1099). Y para la segunda parte, según mi razonamiento anterior, sólo hay 10 casos así.