Alguien puede explicar esto: "el conjunto de subespacios de un espacio del vector ordenado por la inclusión"

Question

Esta es una afirmación en Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set

No sé cómo dar sentido a la afirmación de

¿Qué significa por ordenado por inclusión? ¿Inclusión como $\subseteq$?

¿Alguien puede dar un pequeño ejemplo de subespacios par ser "ordenado" por la inclusión?

¿Es un orden lineal?

Answer 1

"Ordenado por la inclusión" significa "$A\le B$ si sólo si A es un subconjunto de B". Por ejemplo, el conjunto U, de todos los vectores de la forma (a, b, 3a + 2b) es un subespacio de $R^3$ así que es un subconjunto tan '$U\le R^3$'. Y el conjunto V de todos los vectores de la forma (a, 3a, 9a) es un subespacio de U: $V\le U$.

Answer 2

Sí, la inclusión como en $\subseteq$. Un pequeño ejemplo puede aclarar las cosas. Tomar los habituales tres dimensiones de espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Geométricamente hablando, hay cuatro tipos de subespacios de $\mathbb{R}^3$.

(i) El espacio que consiste en el vector cero sólo.

(ii) Una dimensión subespacios, que pueden ser identificados con las líneas a través del origen.

(iii) de Dos dimensiones de los subespacios, que puede ser identificado con los planos por el origen.

(iv) El conjunto de $\mathbb{R}^3$.

Deje $U$ ser un plano que pasa por el origen, y deje $V$ ser el mismo plano. A continuación,$U\subseteq V$.

Deje $U$ ser el subespacio que consiste en el vector cero, y deje $V$ ser cualquier subespacio de $\mathbb{R}^3$. A continuación,$U\subseteq V$.

Deje $U$ ser una línea a través del origen, y deje $V$ ser un plano que contiene la línea. A continuación,$U\subseteq V$.

Deje $U$ $V$ ser diferentes líneas a través del origen. A continuación, $U\subseteq V$ es falso, como es $V\subseteq U$. Por lo tanto nuestra orden parcial en los subespacios de $\mathbb{R}^3$ no es un orden lineal.

Answer 3

La mayoría de sus preguntas ha sido contestada por user247327, así que Permítanme responder a tu última pregunta. Poset de todos los subspaces de un espacio vectorial $V$ no se ordena linealmente mientras $\dim V>1$. Por ejemplo, si $v$ y $w$ son dos vectores linealmente independientes, entonces $\operatorname{span}(v)$ y $\operatorname{span}(w)$ son dos subespacios de $V$, con ni en el otro. (Por otro lado, si $\dim V\leq 1$, los únicos subespacios son $V$ y $\{0\}$, $\{0\}\subseteq V$, entonces es una orden linear.)

Answer 4

Deje $A$ ser el conjunto de todos los subespacios de $\mathbb{R}^3$. Deje $R$ ser una relación binaria en a $A$ definido por $R: = \{(U,V): U \mbox{ is a subspace of } V \}$. Por lo que la relación $R$ es un subconjunto de a $A \times A$. Esta relación es reflexiva (porque cada subespacio $V$ es un subespacio de sí mismo), antisimétrica (si $U$ es un subespacio de $V$ $V$ es un subespacio de $U$,$U=V$) y transitiva (si $U$ es un subespacio de $V$ $V$ es un subespacio de $W$, $U$ es un subespacio de $W$). Por lo tanto, la relación $R$ es un orden parcial.

Este orden parcial no es un orden lineal, porque si $e_i$ denota el vector unitario en la $i$th dirección, entonces la subespacios $U = \{e_1,e_2\}$ $V=\{e_2,e_3\}$ son incomparables, es decir, ni es $U$ un subespacio de $V$ o es $V$ un subespacio de $U$.