Demostrar la desigualdad $(x+y+z-2xyz)^2 \le 2$

Question

Problema: Demostrar la desigualdad $(x+y+z-2xyz)^2 \le 2\ (1)$ $x^2+y^2+z^2 = 1 \land x,y,z \in \mathbb R$

He intentado ampliar $LHS$ y tienen: $$(1)\iff 1 - 2 (xy+yz+xz) + 4 xyz(x+y+z)-(2xyz)^2 \ge 0$ $

Denotar: $xy = a, yz = b,xz=c \implies (1) \iff1-2\sum a+ 4 \sum ab - 2abc \ge0$

Pero pegado. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Expansión de la $LHS$ tenemos

\begin{align}1+ 2(xy+ xz+ yz) - 4xyz(x+y+z) + 4x^2y^2z^2 \leq 3- 4xyz(x+y+z) + 4x^2y^2z^2 \end{align} desde $(xy+ xz+ yz) \leq (x^2+y^2+z^2)=1$ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. \begin{align} 3- 4xyz(x+y+z) + 4x^2y^2z^2 &= 3- 4x^2y^2z^2(1/xy+1/yz+1/xz) + 4x^2y^2z^2\\& \leq 3- 32 x^2y^2z^2 \end {Alinee el}

desde $\frac{3}{(1/xy+1/yz+1/xz)}\leq \frac{(x^2+y^2+z^2)}{3}\leq \frac{1}{3}$ armónico y desigualdad de medios aritméticos y la estimación anterior.

Answer 2

dejamos $x\le y\le z$, entonces $$z^2\ge\dfrac{1}{3},2xy\le x^2+y^2\le\dfrac{2}{3}$ $

Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos %#% $ #% nosotros sólo probamos $$(x+y+z-2xyz)^2=[(x+y)+z(1-2xy)]^2\le [(x+y)^2+z^2][1+(1-2xy)^2]$ $

desde: $$[(x+y)^2+z^2][1+(1-2xy)^2]\le 2$ $ por hacer!