Ceros de la función zeta sin cuadrados

Question

Es un hecho bien conocido que la serie geométrica $$1+x+x^2+x^3+\ldots$$ tiene la siguiente forma $$\frac{1}{1-x}$$ Otra representación posible es $$\prod_{k=0}^{\infty}\left(1+x^{2^{k}}\right)$$ Esto viene de la identidad $$1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{2^{k}}=\frac{1-x^{2^{k}+1}}{1-x}$$ ahora tomando el numerador de la rhs tenemos $$1-x^{2^{k}+1}=\left(1-x^{2^{k}}\right)\left(1+x^{2^{k}}\right)=\left(1-x^{2^{k}-1}\right)\left(1+x^{2^{k}-1}\right)\left(1+x^{2^{k}}\right)$$ Procediendo de esta manera, eventualmente obtenemos $$\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(1+x^{2}\right)\ldots\left(1+x^{2^{k}-2}\right)\left(1+x^{2^{k}-1}\right)\left(1+x^{2^{k}}\right)$$ Tomando el límite para la serie geométrica $$\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}=\prod_{k=0}^{\infty}\left(1+x^{2^{k}}\right)$$ Ahora tomando la función zeta $$\zeta(z)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1+\frac{1}{p^{z}}+\frac{1}{p^{2z}}+\frac{1}{p^{3z}}+\ldots\right)$$ podemos expresarlo como $$\zeta(z)=\prod_{k=0}^{\infty}\;\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1+\frac{1}{p^{z\;2^{k}}}\right)$$

Ahora considere para

$$G(z)=\prod_{k=1}^{\infty}\;\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1+\frac{1}{p^{z\;2^{k}}}\right)$$ nota que ahora $k\geq 1$ y que $G(z)$ converge absolutamente para $z>\frac{1}{2}$

¿Podemos decir que, tras la continuación analítica, que

$$H(z)=\sum_{k=0}^{^\infty}\frac{|\mu(k)|}{k^{z}}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1+\frac{1}{p^{z}}\right)$$ tiene exactamente los mismos ceros que $\zeta(z)$ ?

Answer 1

Una pista: $$\sum \frac{|\mu(k)|}{k^z} = \frac{\zeta(z)}{\zeta(2z)}$$ para $\Re(z) > 1$

Comprueba http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series Puede que te ayude.