Es posible conseguir arbitrariamente cerca de cualquier ángulo agudo con Pitágoras a los triángulos?

Question

El diagrama de dispersión en el artículo de la Wikipedia parece sugerir. Alguien ha atacado a este antes? Hay una prueba?

Answer 1

Si te refieres a un pitagórico triángulo que tiene uno de los ángulos arbitrarios próximos a un ángulo agudo, entonces la respuesta es sí.

Observe que $\displaystyle (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$ es siempre un triángulo de pitágoras para cualesquiera enteros positivos $\displaystyle m \gt n$.

Tenemos que $\displaystyle \tan \theta = \frac{2mn}{m^2-n^2} = \frac{2t}{1-t^2}$ donde $\displaystyle t = \frac{n}{m}$.

Por continuidad (y surjectivity) de $\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}$ podemos encontrar un intervalo de $\displaystyle t$ (que es de hecho un subinterval de $\displaystyle (0,1)$) para que $\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}$ es arbitrariamente cerca de cualquier número positivo que queremos.

Desde los racionales son densos, podemos encontrar $\displaystyle m,n$ que hacen que la tangente de uno de los ángulos arbitrariamente cerca de la tangente de un ángulo agudo, y por lo tanto, los ángulos pueden hacerse arbitrariamente cerca.

Answer 2

De hecho, más es cierto-considerar los triples $(3,4,5), (-7,24,25), (-117,44,125), (-527,-336,625), \ldots$, donde el $n$th triple es

$$ (a_n, b_n, c_n) := (Re((3+4i)^n), Im((3+4i)^n), 5^n). $$

Desde $\tan^{-1} 4/3$ es irracional, la secuencia de pares de $(a_n/c_n,b_n/c_n)$

$$ (3/5, 4/5), (-7/25, 24/25), (-117/125, 44/125), (-527/625, -336/625), \ldots $$

es equidistributed en el círculo unidad. Por lo tanto, la secuencia de $(|a_1/c_1|, |b_1/c_1|), (|a_2/c_2|, |b_2/c_2|)$ obtenido tomando valores absolutos es equidistributed en el arco del círculo unitario en el primer cuadrante.

No estoy seguro de si se puede decir que las ternas Pitagóricas (que se opone a subsequence de ellos) son equidistributed en el primer cuadrante en este sentido. Nadie?

Answer 3

Las otras respuestas aquí explicar que es posible encontrar de forma arbitraria buenas aproximaciones a cualquier ángulo mediante ternas Pitagóricas. He aquí una nota a pie de página sobre cómo convertir esto en un procedimiento constructivo.

Morón de arriba dice que escoger un número racional $n/m$ cerca de $t$ donde $t$ satisface $\tan \theta = 2t/(1 - t^2)$. Se podría recoger $n$ $m$ utilizando un Farey algoritmo para encontrar la mejor aproximación racional a $t = (1 - \cos \theta)/\sin\theta$ con un denominador.

Empezar con $a = 0$, $b = c = d = 1$. El número de $t$ entre $a/b$$c/d$. El próximo calcular el "desarrollo" $(a+c)/(b+d)$. Si $t$ es mayor que el desarrollo, la actualización de $a$$b$$a+c$$b+d$. De lo contrario, la actualización de $c$$a+c$$d$$b+d$. En cada iteración de este proceso se produce la mejor aproximación racional a $t$ para un determinado denominador tamaño.

Answer 4

Aunque ya tiene un par de respuestas demostrando el resultado de pedir, creo que vale la pena agregar más respuestas utilizando un enfoque completamente diferente. Hay una manera sencilla de la parametrización de todos los puntos de una curva algebraica de grado dos que, una vez que usted sabe, la respuesta a tu pregunta sólo se retira muy fácilmente.

[Edit: en Realidad, no me di cuenta de lo cerca que esta era Aryabhata la respuesta cuando he publicado. Aún así, mi parametrización es un poco más general, así que voy a dejar.]

En primer lugar, la parametrización: Para cualquier terna Pitagórica un² + b² = c² se puede dividir por c para obtener la ecuación de un² + b² = 1 en racional pares (un,b) ∈ P². El conjunto de todos los racionales (un,b) no es otra cosa que los puntos racionales en el círculo unitario S¹. Por el contrario, si usted tiene puntos racionales (un,b) ∈ S¹ , a continuación, obtener una terna Pitagórica multiplicando a través de un denominador común c (que no afecta el ángulo).

Ahora elija cualquiera de los racionales punto en el círculo unitario (un₀,b,₀) y un vector distinto de cero (u,v), y considerar la línea t → (un₀+tu,b₀+tv). Este debe intersectar el círculo en exactamente un punto (un₁,b₁) -- a menos que (u,v) es tangente.el círculo (en cuyo caso podemos decir que se cruza dos veces en (un₀,b,₀) ). De hecho, la ecuación de un² + b² - 1 = 0 es una ecuación cuadrática en t con cero término constante (como se soluciona t = 0), por lo que extraer el factor de t da una expresión lineal. Esto significa que se interseca la curva en un punto racional. Para ser explícitos, la ecuación se puede obtener por t es

$$ (u^2+v^2)t^2+2(a_0u+b_0v)t=0\ \Rightarrow\ t=-2(a_0u+b_0v)/(u^2+v^2). $$

Por el contrario, dado cualquier punto racional (un₁,b₁) en el círculo distinto de (un₀,b,₀) siempre se puede tomar (u,v) = (un₁ - un₀,b₁ - b₁) para ver que todo se llegue a un punto en esta manera. Este parametriza los puntos racionales en el círculo por el distinto de cero racional de los vectores (u,v) ∈ P² (hasta recaling). De hecho, dividiendo por u (si es distinto de cero), esto se parametrice los puntos racionales en el círculo por v ∈ Q y el punto adicional parametrizada por (0,1) curresponding para u = 0. Esto puede ser visto para ser otra cosa que la proyección estereográfica.

Ahora a tu pregunta:

Elija cualquier punto (x,y) en el círculo unitario y aproximar el vector (x - ₀,y - b,₀) tan cerca como quiera racional (u,v). La curva t → (un₀+tu,b₀+tv) intersecta a la circunferencia en un punto racional, la cual puede hacerse tan cerca como te gusta (x,y). Es decir, los puntos racionales son densos en el círculo unidad. Así, los ángulos de ternas pitagóricas también será denso en el primer cuadrante.