Limitado de secuencia que no es convergente, pero las diferencias de términos consecutivos convergen a cero

Question

Tengo una pregunta que dice "Mostrar que hay un % de secuencia limitada $x_n$que no es pero convergente tiene la propiedad de que $x_n - x_{n+1} \to 0$ $n \to 0$.

¿Qué significa esto? ¿Necesito con un ejemplo o ¿el problema realmente quiere demostrar tal proposición?

Por cierto, veo que esta secuencia se ve como Cauchy por $x_n - x_{n+1} \to 0$ $n \to 0$, pero obviamente no es.

Answer 1

Un ejemplo hará el trabajo. Intente esto: $$0,1,1/2,0,1/3,2/3,1,3/4,2/4,1/4,0,1/5,2/5,3/5,4/5,1,5/6,4/6,3/6,2/6,1/6,0,1/7,\dots.$ $

Viajamos hacia adelante y hacia atrás entre $0$ y $1$, primero con un paso de gigante, luego con dos pasos de longitud $1/2$, luego con $3$ pasos de longitud $1/3$ y así sucesivamente. Tenga en cuenta que cada número real entre $0$y $1$ es un límite de un subsequence de la secuencia.

Answer 2

Está pidiendo una secuencia donde términos sucesivos acercarse uno al otro pero no convergen en un valor final. Un ejemplo que viene a la mente sería $\sin(\sqrt{n})$. Disminuye la brecha entre valores sucesivos de $\sqrt{n}$, pero obviamente la serie va a oscilar.