Todos sabemos que cuando la derivada exterior se aplica dos veces a un $k$ siempre da como resultado el valor nulo $k+2$ forma (es decir $d^2 = 0$ ). Sin embargo, las únicas pruebas que he visto de esto lo hace en algún gráfico y utilizando la notación de coordenadas lo calcula. Me preguntaba si alguien ha visto o conoce una prueba de $d^2 = 0$ que no utiliza coordenadas y en su lugar demuestra esto de una manera libre de coordenadas.
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CvZ
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Dejemos que $M$ sea un colector suave y agradable, $\alpha\in\Omega^k(M;\mathbb{R})$ sea un diferencial $k$ -forma, y $X,X_1,\dots,X_{k+2}\in\mathfrak{X}(M;\mathbb{R})$ cualquier colección de campos vectoriales. Una definición de la derivada exterior es
$\mathrm{d}\alpha(X_1,\dots,X_k,X_{k+1}):=\sum\limits_{i=1}^{k+1}(-1)^{i+1}X_i(\alpha(X_1,\dots,\hat{X_i},\dots,X_{k+1}))+\sum\limits_{i<j}^{}(-1)^{i+j}\alpha([X_i,X_j],X_1,\dots,\hat{X_i},\dots,\hat{X_j},\dots,X_{k+1})$
En cuanto a las funciones suaves $f\in C^\infty(M;\mathbb{R})$ ,
$\mathrm{d}f(X)=X(f)$
Creo que se trata de la fórmula de Koszul para la derivada exterior y, como siempre, los campos vectoriales con sombrero, $\hat{X_i}$ se omiten en la evaluación sobre $\alpha$ .
Permítanme mostrar lo que ocurre con las funciones cuando la derivada exterior se aplica dos veces.
$\mathrm{d}\circ\mathrm{d}f(X_1,X_2)=X_1(\mathrm{d}f(X_2))-X_2(\mathrm{d}f(X_1))-\mathrm{d}f([X_1,X_2])=X_1\circ X_2(f)-X_2\circ X_1(f)-[X_1,X_2](f)=0$
Ahora, para el caso general, dos páginas de tediosas manipulaciones de sumas demuestran el resultado. Esto también funciona para el \v {C}ech cohomología.
Aunque la belleza de probar este resultado usando coordenadas locales es que está claro que "la derivada exterior es un operador cofundido" es una forma elegante de decir que las derivadas mixtas conmutan para funciones suaves, $\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}f(x,y)$ .
Andreas Cap
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Creo que no es difícil obtener una demostración a partir de la fórmula "global", que expresa la acción de una derivada exterior sobre campos vectoriales, es decir $$d\phi (\xi_0,\dots,\xi_k)=\textstyle\sum_i(-1)^i\xi_i\cdot \phi(\xi_0,\dots,\widehat{\xi_i},\dots,\xi_k)\\ +\textstyle\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\phi([\xi_i,\xi_j],\xi_0,\dots,\widehat{\xi_i},\dots,\widehat{\xi_j},\dots,\xi_k),$$ con los sombreros que denotan omisión. Es simplemente tedioso/enfadado escribir estas cosas bien y conseguir todos los signos correctos. Básicamente, esto refleja el hecho algebraico general de que el diferencial en la cohomología del álgebra de Lie estándar (con valores en alguna representación) es cuadrado a cero.
He encontrado una respuesta autocontenida que realmente no requiere ningún cálculo real. A continuación reproduzco un esbozo de la misma, pero se puede encontrar en Operaciones naturales en geometría diferencial en la página 66. Creo que la clave es reconocer lo que genera el álgebra $ \Omega(M) $ al menos a nivel local.
Desde $d$ es una derivación graduada de grado uno, $ d^2 = \frac12[d,d] $ es una derivación graduada de grado dos y ésta es local. Y como $\Omega(M) $ es generado localmente por $ C^\infty(M,\mathbb{R} )$ y $ \{ df: f\in C^\infty(M,\mathbb{R})\} $ puedes simplemente mostrar $ d^2f=0$ . Por simple cálculo $$ d^2f(X,Y)= Xdf(Y)-Ydf(X)-df([X,Y])=XYf-YXf-[X,Y]f = 0 $$
Por lo tanto, $d^2 = 0$ y $ d^l=0$ para todos $ l \geq 2$ para el caso.
