Esto es cubierto en las notas de la conferencia en el Número de Anillos de Peter Stevenhagen.
Para cuadrática de los campos de número de $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$ sabemos que el anillo de enteros $\mathcal{O}_K = \mathbf{Z}[\alpha]$ $\alpha = (1+\sqrt{d})/2$ si $d \equiv 1 \pmod 4$ $\alpha = \sqrt{d}$ lo contrario, con discriminante $\Delta_K = d$ $\Delta_K = 4d$ respectivamente. El ideal de la clase de grupo es generado por los números primos de norma menor que la de Minkowski obligado, que es $M_K = \frac{2}{\pi}\sqrt{|\Delta_K|}$ si $d < 0$ $M_K = \frac{1}{2}\sqrt{|\Delta_K|}$ si $d > 0$.
Estos primos en $\mathbf{Z}[\alpha]$ se encuentran por encima (son factores de) racional de los números primos menos de $M_K$. Racional de los números primos puede ser factorizado el uso de la Kummer-teorema de Dedekind (3.1 en las notas). Para cuadrática campos de hecho tenemos una descripción de la factorización de racional de los números primos en $\mathbf{Z}[\alpha]$ en términos del símbolo de Legendre: ver corolario 3.11 en las notas y en el ejercicio 5 siguiente.
Queda por encontrar las relaciones entre estos números primos, lo cual puede hacerse mediante la factorización de los ideales de la forma$(k-\alpha)$$k \in \mathbf{Z}$, que han norma $N_{K/\mathbf{Q}}(k-\alpha) = f^\alpha_\mathbf{Q}(k)$. Ya tenemos las relaciones entre el primer ideales de la pequeña norma, tomamos los valores de $k$ que $f^\alpha_{\mathbf{Q}}(k)$ es pequeña. No racional de los números primos se dividen $k - \alpha$, por lo que en el cuadrática sólo el caso de los números primos $\mathfrak{p}$ grado $f(\mathfrak{p}/p) = 1$ puede ocurrir, y si un primer ocurre luego de la otra prime $\mathfrak{q}|p$ no se produce.
Para mostrar que un primo tiene un orden particular en el grupo de clase, tenemos que demostrar que todas las potencias inferiores no son principales. En un imaginario cuadrática de campo ($d < 0$), la norma ecuación a menudo se puede utilizar para mostrar que el ideal no es principal: se supone que es el principal y considerar la norma de un generador.
Permítanme ilustrar esto para $K = \mathbf{Q}(\sqrt{-30})$, que es el segundo ejemplo en la captura de pantalla. Desde $-30 \equiv 2 \pmod 4$ tenemos $\mathcal{O}_K = \mathbf{Z}[\sqrt{-30}]$ $\sqrt{-30}$ tiene un mínimo de polinomio $f = x^2 + 30$. El Minkowski constante en este caso es $M_K = \frac{2}{\pi}\sqrt{30} < 9$, tan sólo tenemos que el factor de los números primos $2, 3, 5, 7$. Corolario 3.11 dice que $p$ se divide en $\mathbf{Z}[\sqrt{d}]$$(\frac{d}{p}) = 1$, inerte por $(\frac{d}{p}) = -1$ y se ramifica para $(\frac{d}{p}) = 0$. Por lo tanto $2, 3$ $5$ se ramificó y $7$ es inerte. Tenemos $(2) = (2,\sqrt{-30})^2 = \mathfrak{p}_2^2$, $(3) = (3,\sqrt{-30})^2 = \mathfrak{p}_3^2$ y $(5) = (5,\sqrt{-30})^2 = \mathfrak{p}_5^2$ por Kummer-Dedekind. El grupo de clase se genera por $\mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3$$\mathfrak{p}_5$.
De $f(0) = 30 = 2\cdot 3 \cdot 5$ deducimos $(\sqrt{-30}) = \mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3\mathfrak{p}_5$ o $[\mathfrak{p}_2] + [\mathfrak{p}_3] + [\mathfrak{p}_5] = 0$ en notación aditiva (donde los corchetes indican la clase), por lo $\mathfrak{p}_2$ $\mathfrak{p}_3$ solo generar el grupo de clase. Nos muestran que sus clases no son iguales y ambos no son principales, por lo que el grupo clase ha pedido $4$ estructura $C_2 \times C_2$.
Si $[\mathfrak{p}_2] = [\mathfrak{p}_3]$ $\mathfrak{p}_3 = (\beta)\mathfrak{p}_2$ algunos $\beta \in \mathbf{Q}(\sqrt{-30})$, y en el cuadrado obtenemos $(3) = (2\beta^2)$. Puesto que la ecuación $x^2 + 30y^2 = 1$ tiene sólo las soluciones $(\pm 1, 0)$, el grupo de la unidad de $\mathbf{Z}[\sqrt{-30}]$$\{\pm 1\}$, por lo que tendríamos $3 = \pm 2\beta^2$, lo cual no es posible para cualquier $\beta \in \mathbf{Q}(\sqrt{-30})$.
Si hubiéramos $\mathfrak{p}_2 = (2,\sqrt{-30}) = (\beta)$ algunos $\beta = x + y\sqrt{-30}$, entonces tendríamos $\beta|2$$\beta \neq \pm 2$, lo $2 = N(\beta) = x^2 + 30y^2$, pero esto no tiene soluciones integrales $(x,y)$ $\mathfrak{p}_2$ es no-principal.
Del mismo modo, $\mathfrak{p}_3$ no es principal debido a $x^2 + 30y^2 = 3$ no tiene soluciones integrales.
Más ejemplos se pueden encontrar en las notas; particularmente en el capítulo 7.
