Mostrar que $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x}{1+n^2x^2}$ no es uniformemente convergente en $[0,1]$

Question

Mostrar que $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x}{1+n^2x^2}$ no es uniformemente convergente en $[0,1]$.

Estaba pensando en el sentido de tomar el valor máximo de cada término $\frac{x}{1+n^2x^2}$, que es $\frac{1}{2n}$ y resumen los. Claramente es una serie divergente.

Pero entonces los valores máximos no se producen en el mismo valor del $x$ para cada término. Para el término de th de $n$ el máximo se produce en $x = \frac{1}{n}$.

¿Por lo tanto, cómo proceder?

Answer 1

Estás en el camino correcto. Para mayor claridad, vamos a denotar la suma parcial $\sum_{n = 1}^N \frac{x}{1 + n^2x^2}$ $S_N(x)$. Una manera de mostrar el resultado es investigar $\sup_{x \in [0, 1]} | S_ {2N} (x) - S_{N}(x) | $:\begin{align} \sup_{x \in [0, 1]} |S_{2N}(x) - S_N(x)| & = \sup_{x \in [0, 1]}\sum_{n = N + 1}^{2N} \frac{x}{1 + n^2x^2} \geq \sum_{n = N + 1}^{2N} \frac{1/N}{1 + n^2/N^2} \\ & \geq \frac{1}{N} \times N \times \frac{1}{1 + (2N)^2/N^2} = \frac{1}{5} \end {Alinee el} que no convergen a $0$ $N \to \infty$. Por lo tanto no tenemos convergencia uniforme (si $\{S_N(x)\}$ converge uniformemente, entonces la cantidad antedicha está delimitada para converger a $0$ $N \to \infty$, teniendo en cuenta el criterio de Cauchy).

Answer 2

El problema es que $$\lim_{x \rightarrow 0}\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{1 + n^2 x^2}$$ is not $0 $, so the function defined by the series isn't continuous. You can see that by evaluating at $x = 1/k:$ $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1/k}{1 + n^2 / k^2}$$ is a Riemann sum for the integral $$\int_0^{\infty} \frac{1}{1+y^2} \, \mathrm{d}y$$ and so it tends to $\pi/2$ as $k \rightarrow \infty.$