Demostrar que en cualquier dominio integral, si $a^2=b^2$ entonces $a=\pm b$

Question

Demostrar que en cualquier dominio integral, si $a^2=b^2$ entonces $a=\pm b$

Un dominio integral es un anillo conmutativo con la unidad que tiene la propiedad de cancelación. No veo cómo puedo usar esto para demostrar el enunciado.

Answer 1

Una pista: la propiedad de cancelación es equivalente a $xy = 0 \implies x = 0$ o $y = 0$ . Y utilizar la factorización $a^2-b^2 =(a-b)(a+b)$ .

Answer 2

Tienes buenas respuestas. Usted está preguntando en los comentarios cómo se llegar ante tal respuesta. Si puedo tomarme la libertad de reformularlo:

Nunca pensé en la factorización, ¿tendría que hacer eso -y ver cómo factorizar $a^2-b^2$ para demostrar que esto es cierto en cada dominio integral?

Lo principal que te da el "dominio integral" es que Si $xy=0$ entonces $x=0$ o $y=0.$ Para hacer uso de esto parece útil tener " $=0$ ", así que para cambiar la pregunta a

Demostrar que en todo dominio integral Si $a^2-b^2=0$ entonces $a-b=0$ o $a+b=0$ . Parece que la mejor posibilidad es utilizar la propiedad definitoria con $x=a-b$ y $y=a+b.$ Como ya tiene $x$ y $y$ no tienes que factorizar, sólo tienes que multiplicar.

Si la pregunta hubiera sido simplemente "¿Cuándo es $a^2=b^2$ en un dominio integral". Primero habría que llegar a $a^2-b^2=0$ y luego factorizar (aunque conociendo la solución $a=b$ sugiere que el factor $a-b.$ )

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Es es Es cierto que, para esta línea de razonamiento, tienes que estar pensando en el dominio integral de esta manera... En cuanto a las definiciones, la cancelación es la primera propiedad de abajo y el resto son equivalentes

• $xA=xB$ y $x \ne 0$ implica $A=B.$
• $x(A-B)=0$ y $x \ne 0$ implica $A-B=0.$
• $xy=0$ y $x \ne 0$ implica $y=0.$
• $xy=0$ implica $x=0$ o $y=0.$

(Para un matemático constructivo esto último no es equivalente... pero esa es otra historia).

A veces es más útil la primera forma y otras, como en este caso, la última.