Convergencia de $\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)$

Question

La pregunta está motivada por el siguiente ejercicio en el análisis complejo:

Deje $\{a_n\}\subset{\Bbb C}$ tal que $a_n\neq-1$ todos los $n$. Mostrar que si $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2$ converge, entonces el producto de a $\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)$ converge a un valor distinto de cero límite si y sólo si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.

Uno puede obtener una prueba mediante el uso de $|a_n|^2$ a obligado a $|\log(1+a_n)-a_n|$.

Aquí está mi pregunta: es el recíproco de esta declaración también verdad?

Si "el producto $\prod_{n=1}^\infty(1+a_n)$ converge a un valor distinto de cero límite si y sólo si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge", $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2$ converge.

Answer 1

Intentaré dar ejemplos donde $\sum|a_n|^2$ es divergente y todas las combinaciones posibles de convergencia/divergencia de $\prod(1+a_n)$$\sum a_n$.

Deje $a_{2n}=\frac1{\sqrt n}$$a_{2n+1}=\frac1{1+a_{2n}}-1=-\frac{1}{1+\sqrt n}$. A continuación,$(1+a_{2n})(1+a_{2n+1})= 1$, por lo tanto el producto converge. Pero $a_{2n}+a_{2n+1}=\frac1{n+\sqrt n}>\frac1{2n}$, por lo tanto $\sum a_n$ diverge.

Deje $a_{2n}=\frac1{\sqrt n}$$a_{2n+1}=-\frac1{\sqrt n}$. A continuación,$a_{2n}+a_{2n+1}=0$, por lo tanto $\sum a_n$ converge. Pero $(1+a_{2n})(1+a_{2n+1})=1-\frac1n$; el $\log$ esto es $\sim -\frac1n$, por lo tanto $\sum \log(1+a_n)$ también $\prod(1+a_n)$ diverge.

Deje $a_n=\frac1{\sqrt n}$. A continuación, $\prod(1+a_n)$ $\sum a_n$ divergen.

Que casi parece como si no es posible disponer de $\prod(1+a_n)$ $\sum a_n$ convergente si $\sum |a_n|^2$ diverge porque $\ln(1+a_n) = a_n-\frac12a_n^2\pm\ldots$, pero aquí vamos: Si $n=4k+r$$r\in\{0,1,2,3\}$, vamos a $a_n = \frac{i^r}{\sqrt k}$. A continuación, el producto de los cuatro términos consecutivos es $(1+\frac1{\sqrt k})(1+\frac i{\sqrt k})(1-\frac1{\sqrt k})(1-\frac i{\sqrt k})=1-\frac1{k^2}$, por lo tanto el registro de estas es $\sim -\frac1{k^2}$ y el producto converge. La suma también converge (a $0$).

Answer 2

La convergencia de $\Pi_{n=0}^\infty(1+a_n)$ es equivalente a la de $\sum_{n=0}^\infty\ln(1+a_n)$. Nota $$ \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+O(|x|^3). $ $ para la convergencia de $$\sum_{n=0}^\infty\ln(1+a_n)=\sum_{n=0}^\infty (a_n-\frac{1}{2}a_n^2+O(|a_n|^3))=\sum_{n=0}^\infty a_n-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty a_n^2+\sum_{n=0}^\infty O(|a_n|^3).$ $\sum_{n=0}^\infty|a_n|^2$ $ en cuenta implica la convergencia de $\sum_{n=0}^\infty a_n^2$ y $\sum_{n=0}^\infty O(|a_n|^3)$. Así el producto $\Pi_{n=0}^\infty(1+a_n)$ converge a un límite distinto de cero si y solamente si converge $\sum_{n=0}^\infty a_n$.