Verificación de las propiedades de una valoración discreta.

Question

EDIT: No pienses en esto. El planteamiento del problema es erróneo. (Ver comentarios)

Dejemos que $K$ sea un campo, y que $K(T)$ sea el campo cociente de polinomios sobre $K$ .

A continuación, defino $v(f/g) = \deg(f) - \deg(g)$ si $f/g\neq 0$ y $v(0) = \infty$ . Necesito demostrar que se trata de una valoración discreta.

Las propiedades necesarias:

(i) $v(f/g) = \infty$ si y sólo si $f/g = 0$ .

(ii) $v\Bigl((f/g)\cdot (p/q)\Bigr) = v(f/g) + f(p/q)$

(iii) $v\Bigl((f/g) + (p/q)\Bigr) \geq \min(v(f/g),v(p/q))$

Las dos primeras propiedades fueron fáciles, pero me encuentro con la siguiente dificultad con la tercera. Supongamos wlog que $v(f/g)\leq v(p/q)$ .

Tengo $v\Bigl((f/g) + (p/q)\Bigr) = v\Bigl((fq + pg)/gq\Bigr) = \deg(fq + pg) - \deg(gq)$ .

De alguna manera tengo que conseguir $\deg(fq + pg) \geq \deg(fq)$ y luego puedo terminar la cadena para conseguir lo que quiero.

Me parece que el siguiente argumento "casi" funciona.

Desde $\deg(f/g)\leq \deg(p/q)$ Entonces creo que $\deg(fq)\leq \deg(pg)$ .

Si esta última desigualdad fuera estricta, entonces SABRÍA que (1) $\deg(fq)\leq \deg(fq + pg)$ .

Pero si la igualdad se mantiene, no sé cómo lidiar con algo como la siguiente posibilidad.

$f(x)q(x) = x^2 - 1$ , $p(x)g(x) = -x^2$ entonces esto viola $(1)$ .

Answer 1

0) Tiene el mérito de no haber podido demostrar iii) porque es falso. En efecto,
$ v((x^2)+(x-x^2))\geq \operatorname {min}(v(x^2),v(x-x^2)) \;$ equivale a $1 \geq \operatorname {min}(2,2)$

1) Así que $v$ no es una valoración. La definición correcta de la valoración es

$$w(f/g)=\operatorname {deg} g-\operatorname {deg} f \; \text {for} \; f\neq 0 \quad (\text {and} \;w(0)=\infty)$$

Por supuesto, no está de más darse cuenta de que $w$ sólo calcula el orden de desaparición de las fracciones en el infinito. Por ejemplo $w( \frac {T^3-1}{T^7+T^2+1})=4$

2) Las pruebas de i) y ii) son triviales y en iii) se puede reducir (tomando un denominador común) al caso de fracciones no nulas $\frac {f}{g}, \frac {F}{g}$ .
Entonces tienes que demostrarlo:

$w( \frac {f+F}{g})= \operatorname {deg}(g)-\operatorname {deg} (f+F)\stackrel {?}{\geq} \operatorname {min}(w(\frac {f}{g}),(w(\frac {F}{g}))=\operatorname {min}(\operatorname {deg}g -\operatorname {deg}f,\operatorname {deg}g -\operatorname {deg}F)$

que se reduce a lo obvio $\operatorname {deg}(f+F)\leq \operatorname {max}(\operatorname {deg}(f),\operatorname {deg}(F)) $