continuidad de una función

Question

Tengo una tarea como preparación para mi examen de cálculo.

$f(x)= \begin{cases} 2^{\frac{1}{x-2}} ,& x\neq 2 \\ 0 ,&x=2 \end{cases}$

Ahora tenemos la siguiente solución por uno de nuestros tutores:

$l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2^-}2^{\frac{1}{x-2}} = 2^0 = 1$

$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2^+}2^{\frac{1}{x-2}} = 2^0 = 1$

Pero no entiendo esta parte específica: $\lim_{x\rightarrow 2^+}2^{\frac{1}{x-2}} = 2^0 = 1$

Lo que ella hace entre eso camina porque si tengo una fracción con $ \dfrac{1}{\text{number} < 0} $ no está $0$ pero más grande.

¿Así que donde el $2^0$ viene?

Answer 1

Ambos $l_1$ y $l_2$ están equivocados.

$$\begin{cases} l_1=\lim\limits_{x\to2^-} 2^\frac{1}{x-2}=2^{-\infty}=0\\ l_2=\lim\limits_{x\to2^+} 2^\frac{1}{x-2}=2^{+\infty}=+\infty\\ \end{casos} $$

Porque $2^--2=0^-$ y $2^+-2=0^+$

$$l_1\not=l_2$$

Por lo tanto la función no es continua en $x=2$.

Answer 2

Vamos a comprobar la continuidad de la función $f(x)$ $x=2$

Aviso, $$LHL=\lim_{x\to 2^{-}}2^{\frac{1}{x-2}}$$ setting $x=2-h\implies h\to 0 \ as\ x\to 2$ $$LHL=\lim_{h\to 0}2^{\frac{1}{(2-h)-2}}$$ $$=\lim_{h\to 0}2^{\frac{-1}{h}}$$ $$=2^{(-\infty)}=0$$ Again notice $$RHL=\lim_{x\to 2^{+}}2^{\frac{1}{x-2}}$$ setting $x=2+h\implies h\to 0 \ as\ x\to 2$ $$RHL=\lim_{h\to 0}2^{\frac{1}{(2+h)-2}}$$ $$=\lim_{h\to 0}2^{\frac{1}{h}}$$ $$=2^{(\infty)}=\infty$$ & $$f(2)=0$$ $$\implies \color{blue}{f(2)=LHL\neq RHL}$$ Hence, the function $f (x) $ has discontinuity at $x = 2$