¿Que es más fácil integrar?

Question

Mi maestro de calculo nos dio este problema en clase:

¿Que es más fácil integrar?

$$\int \sin^{100}x\cos x dx$$

o

$$\int \sin^{50}xdx$$

Por más fácil, supongo que el medio maestro que integral tendría menos trabajo. No estoy seguro de cómo abordar este problema debido a los relativamente grandes exponentes. Supongo que la segunda porque tiene exponentes más pequeño pero no estoy seguro.

Answer 1

¿Que prefieres hacer?

Que $u=\sin x$ y $du=\cos x$, transformar la integral de $\displaystyle \int u^{100} du$.

¿O utilizar la fórmula de reducción: $\displaystyle\int \sin^n x dx=\frac{-\sin^{n-1}x \cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x dx$ $n=50$? Encontré la fórmula aquí.

Por supuesto, ambas cosas pueden hacerse, pero la fórmula de reducción es increíblemente tediosa utilizar. La regla de la potencia de la integración es mucho más simple.

Answer 2

Obviamente, la primera de ellas. $$\int \sin^{100}x \cos x \,\, dx=\int \sin^{100}x \, \,d(\sin x)=\frac{\sin^{101}x}{101}+c$$

Y la otra integral requiere más que apenas los pasos de $2$. Puedes probar con cualquier método que te gusta. No puede ser demostrado rigurosamente que la integral requiere más que apenas los pasos de $2$.