Hay ninguna función de $\mathbb{R} \to (0, \infty)$ % satisfactorio $f'(x)=f(f(x))$

Question

Problema: Demostrar que no hay ninguna función diferenciable desde $\mathbb{R} \to (0, \infty)$ % satisfactorio $f'(x)=f(f(x))$.

No podía hacer mucho progreso, excepto para observar que cualquier derivado (cualquier orden, siempre que existan) es siempre positiva.

Por favor ayuda. Incluso sugerencias son apreciadas.

Answer 1

Desde $f$ salidas de números positivos, $f'$ debe ser positivo. Desde $f'=f\circ f$, $f''$ existe, y $f''=\left(f'\circ f\right)\cdot f'$, y se puede ver que $f''$ también es positiva. Con $f$, $f'$, y $f''$ positivo en $\mathbb{R}$, $f$ debe tener una asíntota horizontal $y=c\geq0$$x\to-\infty$$\lim_{x\to-\infty}f'(x)=0$. (La prueba Formal de abajo). Entonces $$f(c)=\lim_{x\to-\infty}f(f(x))=\lim_{x\to-\infty}f'(x)=0$$ and it is not permitted that $f(c)=0$.

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Con $f$$f'$, $f$ está delimitado por debajo y en aumento. Esto garantiza $c$ existen, y se da la existencia de la asíntota horizontal. Pero no es automático que $\lim_{x\to-\infty}f'(x)$ existe. Por ejemplo, tal vez la curva es plana, ya que se mueve a la izquierda, y en ocasiones, por muy breves períodos de tiempo, toma una pendiente muy pronunciada. Es por esta razón (como Greg Martin notas en los comentarios) debemos hacer uso de $f''$ siendo positivo.

La lógica es la misma con $f'$ como fue con $f$. Desde $f'$ $f''$ son positivos, $f'$ ha dejado asíntota en $y=d\geq0$. Pero $d$ debe ser igual a $0$ ya que de lo contrario $f$ no estaría delimitada por debajo.