Forma geométrica diferencial compleja del teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch

Question

Desde el artículo de la wikipedia, parece que debe haber un diferencial de la forma geométrica de la Grothendieck-Riemann-Roch teorema con los esquemas reemplazado por el complejo de colectores y cuasi coherente poleas sustituido por el vector de paquetes. Lamentablemente, no conozco lo suficiente la geometría algebraica a llevar la traducción (por ejemplo, yo no estoy seguro de lo que el pushforward de cuasi coherente sheafs corresponde).

¿GHRR sólo la cantidad a la de Atiyah-Singer familias índice teorema de la fiberwise Dolbeault-operador de Dirac?

Answer 1

Que $E\rightarrow X$ sea un paquete del vector holomorfa sobre un múltiple complejo compacto. $H^i(X, \mathcal{O}(E))$ sea la cohomología de gavilla $i-$ th, donde $\mathcal{O}(E)$ la gavilla holomorphic secciones de $E$. Entonces $$\sum(-1)^i\dim H^i(X, E)=\int_X td(X)ch(E)$% td $, where $($ is the total Todd class of M, and $ ch (E) $ is the Chern character of $E.$ X)