Compacidad de los intervalos abiertos y cerrados de la unidad

Question

En el artículo de Tao se explica que la compacidad puede ser formulado de la manera más general como:

(Todos los abra las cubiertas tienen finito subcovers) Si $`V_\alpha:\alpha\in\mathcal{a}`$ es cualquier colección de abrir establece que cubre $X$, entonces no debe existir un número finito de sub-colección de $V_{\alpha_1},V_{\alpha_2}...V_{\alpha_k}$ de estos conjuntos que todavía cubren $X$.

Pregunta: ¿Cómo es posible mostrar (tanto de forma intuitiva y rigurosa) que dicha cobertura por una colección finita de abiertos establece que es posible para $X=[0,1]$ y no es posible para $X=(0,1)$?

Edit: una pregunta relacionada con la y otro en abra las cubiertas.

Answer 1

Tomar el intervalo cerrado $[0, 1]$, y deje $\mathcal{V} = \{ V_1 , V_2 , \ldots \}$ ser un abierto de la cubierta. Queremos decir que $\mathcal{V}$ tiene un número finito de subcover, así que supongo que el contrario no. Entonces podemos expresar $[0, 1]$$[0, 1/2] \cup [1/2, 1]$. Si tanto $[0, 1/2]$ $[1/2, 1]$ admite finito subcovers de $\mathcal{V}$, entonces también lo hace $[0, 1]$, por lo que sabemos (al menos) uno de estos intervalos no. Vamos entonces a realizar el mismo proceso en que intervalo (si es $[0, 1/2]$, entonces vamos a ver el$[0, 1/4]$$[1/4, 1/2]$). Esto produce una secuencia $(I_N)$ anidados cerrado intervalos cuya intersección es un singleton $\{ x \}$. Sabemos que no existe $n$ tal que $x \in V_n$, y desde $V_n$ está abierto, sabemos que hay algunos $\epsilon > 0$ de manera tal que el $\epsilon$-bola de unos a $x$ está contenido en $V_n$. Pero si elegimos $N$ suficientemente grande como para que $2^{- N} < \epsilon$, sabemos que el $N$th intervalo cerrado $I_N$ está contenido en $V_n$. Así en el hecho de $I_N$ no sólo se admite un número finito de subcover de $\mathcal{V}$, pero un singleton de la cubierta, es decir,$\{ V_n \} \subset \mathcal {V}$, una contradicción.

EDIT: UN método similar puede ser usado para mostrar el cubo de $[0, 1]^n \subset \mathbb{R}^n$. Otra modificación, sin embargo, el rendimiento de la mayoría de la forma general de Heine-Borel teorema: Que un subconjunto de un espacio métrico completo es compacto si y sólo si es cerrado y totalmente acotado.

Answer 2

no es posible que $(0,1)$ es fácil, tomar la cubierta abierta $(0,1-\frac{1}{n})$.

Demostrando es posible para $[0,1]$ no es tan fácil, usted puede mirar aquí para las pruebas que no pasan por el teorema de Heine-Borel todo.

Answer 3

Creo que la forma más rigurosa de demostrar esto de manera más general es usar el teorema de Heine-Borel, que dice que un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ es compacto si y sólo si es cerrado y limitado. Tal vez esto es menos intuitivo pero si entiendes la prueba del Teorema que le da una gran visión.