Calcular la siguiente integral $ \int_\gamma \frac{1}{z-i}dz $$ $\gamma$ círculo de radio 2 centrada en el origen. ¿Alguna sugerencia por favor? Muchas gracias.
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La cuestión es bastante básica así que supongo que están comenzando con este material y usted probablemente quiere ir con cosas, parametrización e integrales de línea básica.
Parametriza así... pero con un toque
$$z-i=2e^{it}\;,\;\;0\le t\le 2\pi\implies dz=2ie^{it}\,dt\implies$$
$$\oint\limits_C\frac{dz}{z-i}=\int\limits_0^{2\pi}\frac{2ie^{it}dt}{2e^{it}}=\int\limits_0^{2\pi}i\,dt=2\pi i$$
Git Gud
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Sugerencia: de Cauchy de la Integral de la Fórmula.
Alternativamente, tenga en cuenta que $z\mapsto \dfrac 1{z-i}$ es holomorphic en el simplemente conjuntos conectados $\color{grey}{A:=}\mathbb C\setminus \{z\in \mathbb C\colon \Re(z-i)\leq 0 \land \Im(z-i)=0\}$$\color{grey}{B:=}\mathbb C\setminus \{z\in \mathbb C\colon \Re(z-i)\ge 0 \land \Im(z-i)=0\}$, por lo que tiene un anderivative en cada uno de estos conjuntos.
Considere las siguientes funciones: $$\log_A\colon A\to \mathbb C, z\mapsto \log\left(\left|z-i\right|\right)+i\arg_A\left(z-i \right)$$ $$\log_B\colon B\to \mathbb C, z\mapsto \log\left(\left|z-i\right|\right)+i\arg_B\left(z-i \right)$$ donde $\arg_A, \arg_B$ son funciones tales que $\text{im}(\arg_A)\subseteq]-\pi, \pi[$$\text{im}(\arg_B)\subseteq]0,2 \pi[$.
Desde $\gamma=\gamma _A\lor \gamma _B$ donde $$\gamma _A\colon \left[-\dfrac \pi 2, \dfrac \pi 2\right]\to \mathbb C, \theta \mapsto 2e^{i\theta},$$ $$\gamma _B\colon \left[\dfrac \pi 2, \dfrac {3\pi}2\right]\to \mathbb C, \theta \mapsto 2e^{i\theta},$$
desde $\log _A$ $\log _B$ son anderivatives de $z\mapsto \dfrac 1{z-i}$$A$$B$, respectivamente, de ello se sigue que
$$\begin{align} \int _{\gamma _A}\dfrac 1{z-i}\mathrm dz&=\log _A(z)\bigg|^{z =\gamma _A\left( \pi/ 2\right)}_{z=\gamma _A\left( -\pi/ 2\right)}\\ &=\log\left(|2i-i|\right)+i\dfrac \pi 2-\log (|-2i-i|)+i\dfrac \pi 2\\ &=-\log(3)+i\pi\end{align}$$ y $$\begin{align} \int _{\gamma _B}\dfrac 1{z-i}\mathrm dz&=\log _B(z)\bigg|^{z =\gamma _B\left( 3\pi/ 2\right)}_{z=\gamma _B\left( \pi/ 2\right)}\\ &=\log\left(|-2i-i|\right)+i\dfrac {3\pi} 2-\log (|2i-i|)-i\dfrac \pi 2\\ &=\log(3)+i\pi\end{align}.$$
Por lo tanto $$\int _{\gamma }\dfrac 1{z-i}\mathrm dz=\int _{\gamma _A}\dfrac 1{z-i}\mathrm dz+\int _{\gamma _B}\dfrac 1{z-i}\mathrm dz=2\pi i.$$
