Encontrar todas las soluciones de $1/x+1/y+1/z=1$, donde $x$, $y$ y $z$ son números enteros positivos

Question

Encuentre todas las soluciones de $1/x+1/y+1/z=1$ donde $x,y,z$ son enteros positivos.

Se encuentran diez soluciones de $(x,y,z)$${(3,3,3),(2,4,4),(4,2,4),(4,4,2),(2,3,6),(2,6,3),(3,6,2),(3,2,6),(6,2,3),(6,3,2)}$. Son estos los únicos 10 soluciones? En primer lugar, ninguno de $x$, $y$ o $z$ puede ser $1$ ($x$, $y$ y $z$ son enteros positivos)

Si dejo $x=2$, para luego encontrar todas las soluciones a $1/y+1/z = 1/2$ conduce a $(4,4), (3,6)$ $(6,3)$ que me da $(x,y,z)$$(2,4,4), (2,3,6), (2,6,3)$, pero esto también significa $(4,4,2), (4,2,4), (3,2,6), (3,6,2), (6,2,3), (6,3,2)$ son válidos todos los triples de esta ecuación. Si dejo $x=3$, los diferentes valores de $y$ $z$ $(3,3)$ ¿Cómo puedo probar estos son sólo diez soluciones? (sin el uso de ningún tipo de programación)

Resultado conocido: Si denotamos $d(n^2)$ a medida que el número de divisores de a $n^2$, entonces el número de soluciones de $1/x+1/y = 1/n$ = $d(n^2)$ (positivo $x$, $y$)

Para $1/x+1/y+1/z=1$

$z = \frac{xy}{y(x-1)-x}$ donde $xy \neq 0$
¿Qué pasa después de eso?

La pregunta es: ¿cómo nos sho hay sólo diez soluciones? No estoy pidiendo una solución.

Asumiendo $x \le y \le z$

$1 \le y \le \frac{xy}{y(x-1)-x}$

$\Longrightarrow 1 \le x \le y \le \frac{2x}{x-1} $

Tiene la respuesta. Probablemente voy a llamar a @mathlove la respuesta. (Adicionales respuestas voy a ver más tarde)
Le gustaba @user44197 respuesta.

Answer 1

Ellos son la única solución posible. La prueba es como sigue:

Supongamos que $d = gcd(x,y)$ y $x=d ~ x0$, $y=d ~y_0$ donde $x_0$ $y_0$ co-prime. Sustituyendo en la ecuación original obtenemos $$ 1/x + 1/y + 1/z=1 \Rightarrow -d\,x_0\,y_0\,z+y_0\,z+x_0\,z+d\,x_0\,y_0 =0$$ La solución para $d$: $$d=\frac{\left( y_0+x_0\right) \,z}{x_0\,y_0\,\left( z-1\right) }$$ Desde $x_0$ $y_0$ co-prime, para $d$ a ser un número entero, $x_0\,y_0$ brecha $z$. Por lo tanto requerimos $$ z= k ~x_0 ~y_0$$ Sustituyendo en la ecuación de $d$ y resolviendo $k$: $$ k=\frac{d}{d\,x_0\,y_0-y_0-x_0}$$ Esto demuestra que $d$ es un múltiplo de a $k$. Vamos $$ d= \mu k$$. Entonces $$k=\frac{k\,\mu}{k\,\mu\,x_0\,y_0-y_0-x_0}$$ La solución para $k$: $$k=\frac{1}{x_0\,y_0}+\frac{1}{\mu\,y_0}+\frac{1}{\mu\,x_0}$$ Esto implica que $1 \le x_0 \le 3$, $1 \le y_0 \le 3$, $1 \le \mu\le 3$

Es posible eliminar algunos de los 27 posibles valores desde $k$ tiene que ser una enteros esto resultará en 12 posibles valores de $(x_0,y_0,\mu)$ y dos de las soluciones son repeticiones de dar el 10 de soluciones mencionadas en el problema.

Answer 2

Podemos muy bien suponer $x\le y\le z$ (y, a continuación, el recuento de los reordenamientos de las variables según corresponda). El más pequeño de la variable, $x$, no puede ser mayor que $3$ (o más $1/x+1/y+1/z\lt1/3+1/3+1/3=1$), ni puede ser igual a $1$ (o más $1/x+1/y+1/z=1+1/y+1/z\gt1$). Así que o $x=2$ o $x=3$.

Si $x=3$, $y=z=3$ (por la misma razón que antes), que da la solución de $(x,y,z)=(3,3,3)$.

Si $x=2$, $1/2+1/y+1/z=1$ implica

$${1\over2}={1\over y}+{1\over z}$$

Aplicando la desigualdad de $y\le z$ a esta ecuación, vemos que $y$ debe ser mayor que $2$ pero no puede ser mayor que $4$, lo $y=3$ o $y=4$. Cada uno de estos da una solución, $(x,y,z)=(2,3,6)$$(2,4,4)$.

Contando reordenamientos, obtenemos la OP $10$ soluciones y no en otras.

Answer 3

Sugerencia: Puede suponer que $1\le x\le y\le z.$ esto hará que sea más fácil encontrar las soluciones.

Answer 4

Sugerencia: deducir que ninguno de $x, y, z \in \mathbb{N}$ supera el $7$. Esto puede hacerse por Consejo de mathlovearriba.

Además, puede mostrar que hay sólo un $(a, 2, 2)$-tupla y utilizar así $(a, 2, 3)$ a las soluciones.